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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 19

Um carro está para ser içado por um elevador até o quarto andar de uma garagem de estacionamento que fica 14,4   m acima do solo. Se o elevador pode acelerar a 0,18   m / s 2 , desacelerar a 0,09   m / s 2 e alcançar uma velocidade escalar máxima de 2,4   m / s , determine o tempo mais curto para se fazer o içamento, começando do repouso e terminando no repouso.

Passo 1

Temos um problema de cinemática bem interessante e que envolve bem casos reais. Um carro será içado partindo do repouso. Isto é:

v 0 = 0

Neste tipo de questão, pode ocorrer duas possibilidades: o carro é acelerado até atingir uma velocidade máxima (talvez não seja a máxima permitida!) e depois começa a desacelerar (distâncias mais curtas); ou o carro é acelerado até a máxima velocidade permitida, esta velocidade é mantida por um determinado tempo e depois ele irá desacelerar.

Para resolvermos esta questão, precisamos testar a primeira hipótese. Caso ela funcione, temos a nossa solução. Caso contrário, temos que partir para a segunda possibilidade!

Passo 2

Vamos começar montando as equações da cinemática. Se o carro parte do repouso até atingir uma velocidade máxima, ele irá percorrer uma distância s 1 , portanto, temos:

v 1 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

v 1 2 = 0 2 + 2 ⋅ 0,18 ⋅ s 1

v 1 2 = 0,36 s 1

Depois dele atingir esta velocidade, ele começa a desacelerar. Portanto, temos:

v 2 2 = v 1 2 + 2 a Δ s

0 = v 1 2 - 2 ⋅ 0,09 ⋅ 14,4 - s 1

v 1 2 = 2,592 - 0,18 s 1

Fiquem atentos para o fato que a posição final a partir do momento em que ele começa a desacelerar é a posição final do carro. Relacionando as duas equações que obtivemos, vamos descobrir que:

0,36 s 1 = 2,592 - 0,18 s 1

s 1 = 4,8   m

E consequentemente, v 1 = 1,31   m / s . Como a máxima velocidade atingida foi menor que a máxima permitida, a nossa possibilidade está correta!!!

Passo 3

Agora que determinamos as posições finais, ou a máxima velocidade atingida, podemos utilizar as outras equações da cinemática para descobrir os tempos de aceleração e desaceleração.

Escolhendo as equações da velocidade (equação do primeiro grau em relação ao tempo, mais fáceis de resolver né!), para a aceleração, temos:

v = v 0 + a t

v 1 = 0 + 0,18 t 1

t 1 = 7,3   s

Já para a desaceleração, temos:

0 = v 1 - 0,09 t 2

t 2 = 14,6 s

Portanto, o tempo de içamento é:

Δ t = 21,9   s

Resposta

Δ t = 21,9   s

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