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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 119

Um carro viaja ao longo de uma pista circular de raio 75   m , e sua velocidade escalar por curto período de tempo 0 ≤ t ≤ 2   s e v = 0,9 t + t 2   m / s , onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da aceleração do carro quando t = 2   s . Qual a distância que ele se moveu em t = 2 s ?

Passo 1

Precisamos determinar uma distância após 2 segundos de movimento do nosso carro e a sua aceleração quando t = 2   s . Como a velocidade escalar não é constante, para calcularmos a aceleração, precisaremos determinar inicialmente as suas componentes tangencial e normal através das seguintes relações:

a n = v 2 ρ

a t = d v d t

Logo, precisaremos calcular a velocidade antes! Já para calcularmos a distância, precisaremos resolver a seguinte integral:

∫ s 0 s d s = ∫ t 0 2 v   d t

Sabendo que s 0 = 0   m e t 0 = 0   s , pois o carro partiu da origem!

Passo 2

Para podermos calcular a componente normal da aceleração, precisamos determinar a velocidade quando t = 2   s . Substituindo este valor na sua equação, temos:

v = 0,9 ( t + t 2 )

v = 0,9 ( 2 + 4 )

v = 5,4   m / s

Passo 3

Agora que determinarmos a velocidade, podemos calcular a componente normal da aceleração. Começando por ela então, temos:

a n = v 2 ρ = 5,4 2 7 5 = 0,39   m / s 2

Já a componente tangencial é dada por:

a t = d v d t = 0 , 9 ( 1 + 2 t )

a t = 4,5   m / s

Passo 4

Após determinarmos ambas as componentes da aceleração, vamos calcular a sua intensidade! Sendo assim,

a = a t 2 + a n 2

a = 4 , 52   m / s 2

Passo 5

Para calcularmos a distância percorrida, basta resolver a seguinte integral:

∫ 0 s d s = ∫ 0 2 v   d t

∫ 0 s d s = ∫ 0 2 0,9 ( t + t 2 )   d t

s = 0,9 ⋅ t 2 2 + t 3 3 0 2 = 0,9 ⋅ 4 2 + 8 3

s = 4,2   m

Resposta

a = 4,52   m / s 2

s = 4,2   m

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