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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 151

Um carro de corrida move-se ao longo da pista circular com uma velocidade escalar de 16 m/s. Quando ele chega ao ponto A , ele aumenta sua velocidade escalar na razão de a t = ( 4 3 v 1 / 4 )   m / s 2 , onde v é dado em m/s. Determine as intensidades da velocidade e aceleração do carro quando ele chega ao ponto B . Além disso, quanto tempo é necessário para ele se deslocar de A para B ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Velocidade do carro: v = 16   m / s ;

Aceleração em A : a t = 4 3 v 1 / 4 m/s2.

Raio de curvatura: ρ = 200   m .

Devemos determinar as intensidades da velocidade e aceleração do carro quando ele chega ao ponto B e o tempo necessário para ele fazer esse trajeto A - B .

Passo 2

Sabemos que a aceleração é igual a derivada temporal da velocidade

a = d v d t

Para descobrirmos a equação da velocidade, devemos integrar a relação acima. Logo,

d v = a   d t

d v = 4 3 v 1 / 4   d t

3 4 v - 1 / 4 d v = d t

∫ 16 v 3 4 v - 1 / 4 d v = ∫ 0 t   d t

v 3 4 - 16 3 4 = t

v = t + 8 4 3  

Passo 3

Sabemos que a velocidade é igual a derivada temporal do deslocamento

v = d s d t

Para descobrirmos a equação do deslocamento, devemos integrar a relação acima. Logo,

d s = v   d t

d s = t + 8 4 3   d t

∫ 0 s d s = ∫ 0 t t + 8 4 3   d t

s = 3 7 t + 8 7 3 - 3 7 0 + 8 7 3

s = 3 7 t + 8 7 3 - 54,86

Além disso, através da imagem fornecida, vemos que o deslocamento do carro é igual ao comprimento do arco que liga o ponto A ao B . O comprimento do arco é dado pela seguinte relação:

d = ρ θ

Onde θ está em radianos.

Logo, temos que

s = 200 π 2 = 100 π

Igualando ambas as equações para s , obtemos

100 π = 3 7 t + 8 7 3 - 54,86

t + 8 7 3 = 861,045

t = 18,11 - 8

t = 10,11   s

Passo 4

A intensidade da velocidade é obtida ao substituir o valor de t na equação de v obtida no Passo 2.

v = 10,11 + 8 4 3  

v = 47,6   m / s

Passo 5

Agora vamos encontrar a intensidade da aceleração:

a = a n 2 + a t 2  

Para isso, devemos definir os valores da aceleração normal e tangencial.

A aceleração normal é dada por:

a n = v 2 ρ

Logo,

a n = 47,6 2 200 = 11,31   m / s 2  

A aceleração tangencial é dada por:

a t = 4 3 v 1 / 4

Logo,

a t = 4 3 ( 47,6 ) 1 / 4 = 3,5   m / s 2

Substituindo esses valores em a , obtemos

a = 11,31 2   + 3,5 2  

a = 11,8   m / s 2

Resposta

v = 47,6   m / s

a = 11,8   m / s 2

t = 10,11   s

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