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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 152

Uma partícula move-se ao longo da trajetória y = a + b x + c x 2 , onde a , b e c são constantes. Se a velocidade escalar da partícula é constante v = v 0 , determine as componentes x e y da velocidade e a componente normal da aceleração quando x = 0 .

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória da partícula e nos diz que a velocidade escalar é constante. A partir desses dados, devemos determinar as componente x e y da velocidade, além da componente normal da aceleração quando x = 0 .

Passo 2

Primeiramente, vamos trabalhar com a velocidade.

Sabemos que a velocidade é determinada pela derivada temporal da função posição. Neste caso, a função posição é dada em termos de x e y . Vamos derivar a trajetória y = a + b x + c x 2 em relação ao tempo:

y ˙ = b x ˙ + 2 c x x ˙

Em x = 0 , temos

y ˙ = b x ˙

Achamos uma relação para y ˙ e x ˙ !

Sabemos que a velocidade é composta por componentes em x e y :

v 2 = x 2 + y 2

Logo, para x = 0 , temos

v 0 2 = x ˙ 2 + y ˙ 2

v 0 2 = x ˙ 2 + b 2 x ˙ 2

v 0 2 = x ˙ 2   ( 1 + b 2 )

Ou

v 0 2 = x ˙ 2 + y ˙ 2

v 0 2 = y ˙ 2 b 2 + y ˙ 2

v 0 2 = y ˙ 2 ( 1 + b 2 ) b 2

As componentes da velocidade serão:

v x = x ˙ = v 0 2 1 + b 2 = v 0 1 + b 2    

v y = y ˙ = v 0 2 b 2 1 + b 2 = v 0 b 1 + b 2

Passo 3

Agora vamos focar na aceleração.

A intensidade da aceleração a é dada por:

a = a t 2 + a n 2  

A questão nos pede somento o componente normal da aceleração, ou seja, a n . Sabemos que

a n = v 2 ρ

E que

ρ = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Primeiramente, vamos descobrir a valor do raio de curvatura:

Temos que

d y d x = b + 2 c x

d 2 y d x 2 = 2 c

Substituindo em ρ para x = 0 , obtemos

ρ = 1 + b + 0 2 3 2 2 c = 1 + b 2 3 2 2 c

Agora que obtemos ρ , vamos encontrar a n para x = 0 :

a n = v 0 2 1 + b 2 3 2 2 c

a n = 2 c v 0 2 1 + b 2 3 2

Resposta

v x = v 0 1 + b 2    

v y = v 0 b 1 + b 2

a n = 2 c v 0 2 1 + b 2 3 2

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