Enunciado

A casca semicilíndrica uniforme de massa m e raio r é liberada a partir do repouso na posição mostra, com sua borda inferior apoiada sobre a superfície horizontal. Determine o coeficiente de atrito estático mínimo μ s que é necessário para evitar qualquer deslizamento inicial da casca.

Passo 1

Vamos começar fazendo um esquema para a visão “em perfil” da casca:

Vamos começar encontrando o momento de inércia em relação ao centro de massa; Usando o teorema dos eixos paraleos podemos escrever o seguinte:

I O = I c m + m r - 2

I c m = I O - m r - 2

E o momento de inércia em relação ao ponto O é tabelado:

I c m = m r 2 - m r - 2

E a posição r - do centro de massa também é tabelada:

I c m = m r 2 - m 2 r π 2 = m r 2 1 - 4 π 2

Passo 2

Beleza, com essa informação vamos escrever uma equação para o momento em relação ao centrode massa:

∑ M c m = I c m α

E as forças que produz momento em relação ao centro de massa são F (força de atrito) e N :

∑ M c m = N r - - F r = 2 N r π - F r

2 N r π - F r = I c m α

2 N r π - F r = m r 2 1 - 4 π 2 α

Ok, essa é nossa primeira equação. Precisamos de mais duas para ficar com um sistema de três variáveis ( N , F e α ) e três equações.

Passo 3

Para encontrar essas duas equações vamos usar a segunda lei de Newton:

∑ F x = m a - x

A única força que age na direção horizontal é F :

∑ F x = F

E qual é a componente da aceleração do centro de massa nessa direção?

a x = r α

F = m r α

E agora vamos para a direção vertical:

∑ F y = m a - y

∑ F y = m g - N

E a componente da aceleração do centro de massa nessa direção está associada à rotação em torno do centro de massa.

É importante lembrar que estamos considerando o instante inicial, na posição mostrada no desenho. Em outros instantes, essa aceleração teria outras direções, mas aqui ela é vertical para baixo.

a - y = m r - α = 2 m r π α

Então:

m g - N = 2 m r π α

Passo 4

Ótimo, já temos um sistema de três equações e três variáveis.

m g - N = 2 m r π α F = m r α 2 N r π - F r = m r 2 1 - 4 π 2 α

Lembrando que nosso objetivo é encontrar μ s , que obedece a seguinte relação:

μ s = F N

Então vamos começar a resolver:

N = m g - 2 r π α F = m r α 2 N π - F = m r 1 - 4 π 2 α

Começamos substituindo a primeira e a segunda equações na terceira e dividindo tudo por m :

2 π g - 2 r π α - r α = r 1 - 4 π 2 α

α - 4 r π 2 - r - r 4 r π 2 = - 2 g π

- 2 r α = - 2 g π

α = g π r

Agora que temos α , vamos fazer a razão F / N que dá μ s :

μ s = m r α m g - 2 r π α = r α g - 2 r π α

E substituindo α que encontramos:

μ s = r g π r g - 2 r π g π r = g π g - 2 g π 2

Divivindo tudo por g e multiplicando tudo por π 2 :

μ s = π π 2 - 2 ≅ 0,399

Resposta

O coeficiente de atrito estático mínimo deve ser μ s = 0,399 .

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