A chapa de aço uniforme de 20   k g é livremente articulada em torno do eixo z como mostrado. Calcule a força suportada por cada um dos mancais em A e B imediatamente após a chapa ser liberada a partir do repouso no plano horizontal y - z .

Passo 1

A força peso irá gerar um momento que dará uma aceleração angular para a placa em torno do eixo z .

O momento dessa força que age no centro de massa da placa em relação a esse eixo é:

M z = m g 0,400 2 = 0,200 m g

E para calcular a aceleração angular gerada por esse momento, precisamos saber o momento de inércia da chapa retangular uniforme em relação a um eixo perpendicular ao sei maior lado L (consultar tabela):

I z = 1 3 m L 2

Então:

M z = I z α

0,200 m g = 1 3 m L 2 α

α = 3 0,200 ( 9,81 ) 0,400 2 = 36,8   r a d / s 2

Passo 2

Essa é a aceleração angular imediatamente após a chapa ser liberada. Conforme ela roda em torno de z , o ângulo que a força peso forma com a superfície da placa muda, e portanto o momento também.

Mas nesse instante, podemos calcular a aceleração tangencial associada a essa aceleração angular:

a t = α r

Onde r é a distância entre o eixo z e o centro de massa da placa, que nesse instante acelera na vertical para baixo:

a t = 36,8 0,400 2 = 7,36   m / s 2

Passo 3

Então temos o seguinte sistema:

1,34.10 4 a = 318   825 - 5,25   R y + 0,6 R x 1,8.10 3 a = 0,750 R y + 29430 - 0,6   R x

Temos um sistema de três variáveis, e duas equações, então precisamos encontrar mais uma das variáveis antes de resolvê-lo.

Olhando para a parte de cima do veículo, vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção horizontal, que é justamente a direção da aceleração a .

Apenas a força R x aponta nessa direção, no mesmo sentido da aceleração a :

R x = m a

R = 10 4 a

Substituindo isso no sistema:

1,34.10 4 a = 318   825 - 5,25   R y + 0,6.10 4 a 1,8.10 3 a = 0,750 R y + 29430 - 0,6   . 10 4 a

7,4.10 3 a = 318   825 - 5,25   R y 7,8.10 3 a = 0,750 R y + 22072,5

Podemos resolver para calcular a . Vamos multiplicar a equação de baixo por 7 e somar com a primeira:

62,0.10 3 a = 473,3.10 3

a = 7,63   m / s 2

Passo 4

Isso quer dizer que, no instante que estamos analisando, a aceleração do centro de massa da placa é a = 7,63   m / s 2 na vertical para baixo.

Então pela segunda lei de Newton:

∑ F y = m a

E nessa direção temos forças de módulo F agindo em cada mancal ( A e B ), e a força peso P apontando para baixo:

P - 2 F = m a

m g - 2 F = m a

F = m 2 g - a

F = 20 2 9,81 - 7,63

F = 24,5   N

Resposta

A força suportada por cada um dos mancais é F = 24,5   N .

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