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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas Revisão - Ex. 149

O círculo de Mohr mostrado corresponde ao estado de tensões dado nas Figs. 6.5a e b, Sec. 6.1. Notando que σ x ' = O C ' - C X ' cos ⁡ 2 θ p - 2 θ e que τ x ' y ' = C X ' s e n ( 2 θ p - 2 θ ) , desenvolver as expressões σ x ' e τ x ' y ' , dadas nas Eqs. (6.5) e (6.6), respectivamente. (Sugestão: Usar s e n A + B = s e n A ⋅ cos ⁡ B + cos ⁡ A ⋅ s e n ( B ) e cos ⁡ A + B = cos ⁡ A ⋅ cos ⁡ B - s e n A ⋅ s e n ( B ) .)

Passo 1

Bom, primeiro a questão fala para chegar à duas equações, vamos enuncia-las aqui. A primeira que trata sobre a tensão normal é:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ + τ x y ⋅ s e n 2 θ                     [ E q   6.5 ]

Já a segundo trata da tensão cisalhante:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 ⋅ s e n 2 θ + τ x y ⋅ cos ⁡ 2 θ                                 [ E q   6.6 ]

Então para chegar a essas equações a gente vai ter que sair dosestado X e chegar no estado X ' . Para isso vamos utilizar a geometria do círculo e um pouco de trigonometria.

Passo 2

Vamos achar o centro e o raio do ciclo de Mohr:

σ m é d = σ x + σ y 2

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 2

Como não foram fornecidos dados numéricos vamos deixar assim.

É importante ver que o ciclo não muda, o que muda é que ocorre uma rotação de X para X ' , dessa forma o σ m é d e o R permanecem iguais. Assim, podemos deduzir alguns termos, como:

O C ' : este termo é exatamente igual à O C que por sua vez vale:

O C ' = O C = σ m é d = σ x + σ y 2

C X ' : este termo irá valer:

C X ' = R ⋅ cos ⁡ 2 θ p - 2 θ

O problema forneceu o seguinte dado:

σ x ' = O C ' - C X ' cos ⁡ 2 θ p - 2 θ

Daí a gente tem que perceber, substituindo os valores de O C ' e C X ' , que

σ x ' = O C ' - C X ' cos ⁡ 2 θ p - 2 θ

É igual a

σ x ' = σ x + σ y 2 - R ⋅ cos ⁡ 2 θ p - 2 θ cos ⁡ 2 θ p - 2 θ

σ x ' = σ x + σ y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ p - 2 θ - R ⋅ cos 2 ⁡ 2 θ p - 2 θ

Passo 3

Agora vamos utilizar a propriedade trigonométrica:

cos ⁡ A + B = cos ⁡ A ⋅ cos ⁡ B - s e n A ⋅ s e n ( B )

cos ⁡ 2 θ p - 2 θ = cos ⁡ 2 θ p ⋅ cos ⁡ 2 θ + s e n 2 θ p ⋅ s e n ( 2 θ )

Galera, agora a gente vai recorrer para a geometria do ciclo e ao ângulo 2 θ p , observando o ciclo vamos ver que:

sen ⁡ 2 θ p = τ x y R

cos ⁡ 2 θ p = σ x - σ m é d R

Agora podemos simplificar um pouco a relação:

cos ⁡ 2 θ p - 2 θ = cos ⁡ 2 θ p ⋅ cos ⁡ 2 θ + s e n 2 θ p ⋅ s e n ( 2 θ )

Que ficará da forma:

cos ⁡ 2 θ p - 2 θ = σ x - σ m é d R ⋅ cos ⁡ 2 θ + τ x y R ⋅ s e n ( 2 θ )

Vamos precisar também do termo..

cos 2 ⁡ 2 θ p - 2 θ = cos ⁡ 2 θ p ⋅ cos ⁡ 2 θ + s e n 2 θ p ⋅ s e n ( 2 θ ) 2  

cos 2 ⁡ 2 θ p - 2 θ = σ x - σ m é d R ⋅ cos ⁡ 2 θ + τ x y R ⋅ s e n 2 θ 2

Esse termo será igual a:

σ x - σ m é d R 2 ⋅ cos 2 ⁡ 2 θ + 2 × τ x y ( σ x - σ m é d ) R 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ s e n 2 θ + τ x y R 2 ⋅ s e n ² 2 θ

Ficou meio grande né? Vamos continuar no próximo passo =D

Passo 4

Ok, respira funda e vamos lá... A gente tinha aquela equação grandona, para facilitar vamos olhar o seguinte termo

σ x - σ m é d

Mas a tensão média é calculada como:

σ m é d = σ x + σ y 2

Então a gente pode ver que:

σ x - σ m é d = σ x - σ x + σ y 2 = σ x - σ y 2

Substituindo na nossa equação:

σ x - σ y 2 R 2 ⋅ cos 2 ⁡ 2 θ + 2 × τ x y ( σ x - σ y ) ( 2 R ) 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ s e n 2 θ + τ x y R 2 ⋅ s e n ² 2 θ

A gente pode fazer a mesma coisa com o termo:

cos ⁡ 2 θ p - 2 θ = σ x - σ m é d R ⋅ cos ⁡ 2 θ + τ x y R ⋅ s e n ( 2 θ )

E obter:

cos ⁡ 2 θ p - 2 θ = σ x - σ y 2 R ⋅ cos ⁡ 2 θ + τ x y R ⋅ s e n ( 2 θ )

Pessoal, lembrem que a gente quer σ x ' , então a gente vai ter que substituir os dois termos nessa equação aqui de baixo:

σ x ' = σ x + σ y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ p - 2 θ - R ⋅ cos 2 ⁡ 2 θ p - 2 θ

Pessoal, observem que os termos cos ⁡ 2 θ p - 2 θ ; cos 2 ⁡ 2 θ p - 2 θ e R todos podem ser escritos em função de σ x , σ y , τ x y e 2 θ . Sendo assim daqui para frente o problema se torna unicamente algébrico e fica muito extenso para ser colocado nessa resolução.

O mais importante nós já fizemos, que é expressar tudo em função dos termos “finais”.

Passo 5

Para τ x ' y ' vamos utilizar:

τ x ' y ' = C X ' s e n ( 2 θ p - 2 θ )

O desenvolvimento será muito parecido, tendo em vista que os mesmos termos 2 θ p e C X ' são utilizados. A única diferença é a utilização da relação trigonométrica para o senos ao invés dos cossenos:

s e n A + B = s e n A ⋅ cos ⁡ B + cos ⁡ A ⋅ s e n ( B )

Valeu, galera um grande abraço!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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