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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas de Revisão - Ex. 165

Conforme a velocidade de rotação de um motor apoiado por mola é lentamente aumentada de 200 para 500 rpm, a amplitude da vibração devido ao desequilíbrio do rotor é observada diminuindo constantemente de 8 mm para 2,5 mm. Determine (a) a velocidade na qual a ressonância ocorreria, (b) a amplitude da vibração em estado estacionário a uma velocidade de 100 mm

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a) a velocidade na qual a ressonância ocorreria, (b) a amplitude da vibração em estado estacionário a uma velocidade de 100 mm

Uma vez que a amplitude diminui com o aumento da velocidade no intervalo de ω 1 = 200 r p m a ω 2 = 500 r p m , o movimento está fora de fase com a força.

x i n = P m k 1 - ω f ω n 2 = m w t 2 k 1 - ω f ω n 2 = m r M ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2

x m = m H ω f ω n 2 ω i a n 2 - 1

Deixe

u = ω 1 ω n ,  em que  a 1 = 200 r p m = 20.944 r a d / s

x n i = m m m u 2 u 2 - 1 (1)

ω f = ω 2 = 500 r p m ω f ω n = 500 200 u = 2.5 u

x m 2 = m c m 6.25 u 2 6.25 u 2 - 1 (2)

Dividindo eq(1) por eq(2)

x m 1 x m 2 = 6.25 u 2 - 1 u 2 u 2 - 1 6.25 u 2 = 8 m m 2.5 m m = 3.2

6.25 u 4 - u 2 = 20 u 4 - 20 u 2

13.75 u 4 - 19 u 2 = 0 u = 19 13.75 = 1.17551

Passo 2

(a) frequência natural

ω n = ω 1 u = 20.944 1.7755 = 17.817 r a d / s

ω n = 170.1 r p m

Em 200 rpm x m 1 = 8 m m = 8 × 10 - 3 m , u = 1.17551

Da eq (1) 8 × 10 - 3 = m r M ( 1.17551 ) 2 ( 1.17551 ) 2 - 1 = 19 5.25 m r M

m r M = 2.2105 × 10 - 3 m

Passo 3

(b) amplitude em 100 rpm

ω f = 10.472 r a d / s < ω n ω f ω n = 10.472 17.817 = 0.58775

Movimento está em fase com a força

x m = m r M ω f ω n 2 1 - ω j ω n 2

x m = 2.2105 × 10 - 3 ( 0.58775 ) 2 1 - ( 0.58775 ) 2 = 1.167 × 10 - 3 m

x m = 1.167 m m

Resposta

a ω n = 170.1 s p m

(b) x m = 1.167 m m

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