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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas de Revisão - Ex. 169

Resolva o Problema 19.168, supondo que um dashpot de constante c = 6500 N⋅s / m seja introduzido entre o motor e o solo.

19.168 - Um motor de 400 kg apoiado por quatro molas, cada uma com 150 kN / m constantes, é obrigado a se mover verticalmente. Sabendo que o desequilíbrio do rotor é equivalente a uma massa de 23 g localizada a uma distância de 100 mm do eixo de rotação, determine para uma velocidade de 800 rpm (a) a amplitude da força flutuante transmitida à fundação, (b) a amplitude do movimento vertical do motor

Passo 1

O exercicio pede que a gente determine a amplitude da força flutuante transmitida à fundação, (b) a amplitude do movimento vertical do motor

Massa total M = 400 k g

Desbalanço

m ' = 23 g = 0.023 k g r = 100 m m = 0.100 m

Frequência forçada

ω f = 800 r p m = 83.776 r a d / s

Mola constante

k = ( 4 ) 150 × 10 3 N / m = 600 × 10 3 N / m

Frequência natural

ω n = k m = 600 × 10 3 400 = 38.730 r a d / s

Passo 2

Razão da frequência

ω f ω n = 2.163 1

Coeficiente de amortecimento viscoso

c = 6500 N ⋅ s / m

Coeficiente de amortecimento crítico

c c = 2 k M = 2 600 × 10 3 ( 400 ) = 30,984 N ⋅ s / m

Fator de amortecimento

c c c = 0.20978

Força desbalanceada

P m = m r ω f 2 = ( 0.023 ) ( 0.100 ) ( 83.776 ) 2 = 16.1424 N

Defecção estática

δ S T = P m k = 16.1424 600 × 10 3 = 26.904 × 10 - 6 m

Passo 3

Amplitude da vibração. Use eq(19.53)

x m = P m k 1 1 - ω f ω n 2 2 + 2 c c c ω f ω n 2

Em que 1 - ω f ω n 2 = 1 - ( 2.1631 ) 2 = - 3.679

E 2 c c c ω f ω n = ( 2 ) ( 0.20978 ) ( 2.1631 ) = 0.90755

x m = 26.904 × 10 - 3 ( - 3.679 ) 2 + ( 0.90755 ) 2 = 7.1000 × 10 - 6 m

Movimento resultante

x = x m s i n ⁡ ω f t - φ x ˙ = ω f x m c o s ⁡ ω f t - φ

Força de amortecimento

F d = c x ˙ = c ω f x m c o s ⁡ ω f t - φ = 3.8663 c o s ⁡ ω f t - φ F s = F m c o s ⁡ ψ s i n ⁡ ω f t - φ   a n d   F d = F m s i n ⁡ ψ c o s ⁡ ω f t - φ

Força total

F = F m ' c o s ⁡ ψ s i n ⁡ ω f t - φ + F m s i n ⁡ ψ c o s ⁡ ω f t - φ = F m s i n ⁡ ω f t - φ + ψ

Passo 4

(a) amplitude da força

F m = F m c o s ⁡ ψ 2 + F m s i n ⁡ ψ 2 F m = k x m 2 + c ω f x m 2 = ( 4.26 ) 2 + ( 3.8663 ) 2

F m = 5.75 N

(b) amplitude de vibração

x m = 0.00710 m m

Resposta

a F m = 5.75 N

(b)   x m = 0.00710 m m

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