Enunciado

O conjunto é composto por dois postes A B e C D do material 1 com módulo de elasticidade E 1 e área de seção transversal A 1 cada e um poste central E F do material 2 com módulo de elasticidade E 2 e área de seção transversal A 2 . Se os postes A B e C D tiverem de ser substituídos por postes do material 2 , determine a área da seção transversal exigida para esses novos postes de modo que ambos os conjuntos sofram o mesmo grau de deformação quando carregados.

Passo 1

Temos uma estrutura feita de 3 postes. O conjunto 1 consiste em: um poste em cada canto com material 2 , e um poste no centro com material 1 . O enunciado pede que investiguemos também um conjunto 2 para a estrutura: todos os três postes com material 2 .

Não tem valores nessa questão, então vamos definir as variáveis.

Conjunto 1 :

  • Características dos postes A B e C D :
    • Área transversal: A 1 .
    • Módulo de elasticidade: E 1 .
    • Comprimento inicial: L .
    • Características dos postes E F :
    • Área transversal: A 2 .
    • Módulo de elasticidade: E 2
    • Comprimento inicial: L .
    • Conjunto 2 :

    • Características dos postes A B e C D :
    • Área transversal: A n (nova área!)
    • Módulo de elasticidade: E 2 .
    • Comprimento inicial: L .
    • Características dos postes E F :
  • Área transversal: A 2 .
  • Módulo de elasticidade: E 2
  • Comprimento inicial: L .

Nos dois casos, um forçamento vertical P é imposto no meio da estrutura. O forçamento causa uma deformação nos postes, comprimindo-os.

Todas essas variáveis são conhecidas com exceção de A n !

Muita informação! Vamos com calma.

A questão quer que achemos o valor da área A n para os postes A B e C D no caso do conjunto 2 . Essa área A n deve garantir que o conjunto 2 ( c 2 )   sofra a mesma deformação que o conjunto 1 ( c 1 ). Como todos os postes tem o mesmo comprimento inicial L , podemos tratar só dos deslocamentos:

δ c 1 = δ c 2

Primeiro, precisamos saber o quanto desloca em cada caso. Fórmula da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

Show, só não sabemos as forças nessa fórmula. Vamos achar isso para cada caso.

Passo 2

Diagrama de corpo livre:

Fazendo o equilíbrio de momentos para o centro da estrutura:

∑ M c e n t r o = 0 → d   F A = d   F C → F A = F C

Equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → 2 F A + F E = P

Essas equações servem tanto pro conjunto 1 quanto pro conjunto 2 . Pra achar o valor das forças, porém, vamos precisar de mais uma equação.

Passo 3

A tampa é rígida, e por causa da simetria ( F A = F C ) , a força P vai fazer ela descer sem se inclinar. Então o deslocamento dos postes tem que ser sempre igual.

δ A =   δ E

Essa condição de compatibilidade vai servir para os dois conjuntos.

Passo 4

Vamos resolver primeiro para o caso do conjunto 1 .

δ A =   δ E → F A c 1   L A 1   E 1 = F E c 1   L A 2   E 2 → F A c 1 = A 1   E 1 A 2   E 2 F E c 1

2 F A + F E = P → F E c 1 = A 2   E 2 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 P

Agora podemos ver o deslocamento do conjunto 1 :

δ c 1 = F E c 1   L A 2   E 2

δ c 1 =   L 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 P

Passo 5

Façamos o mesmo para o conjunto 2 (confira de novo o Passo 1 para não se confundir!)

δ A =   δ E → F A c 2   L A n   E 2 = F E c 2   L A 2   E 2 → F A c 1 = A n A 2   F E c 1

2 F A + F E = P → F E c 2 = A 2 2 A n + A 2   P

Calcule o deslocamento do conjunto 2 :

δ c 2 = F E c 2   L A 2   E 2

δ c 2 =   L 2 A n   E 2 + A 2   E 2 P

Passo 6

Finalmente, vamos fazer o que o enunciado quer e forçar

δ c 1 = δ c 2

L 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 P =  L 2 A n   E 2 + A 2   E 2 P

Tudo ali é conhecido, menos o A n . Vamos isolar esse cara e aí teremos achado o valor dele que garante que δ c 1 = δ c 2 . Corta P , corta L e inverte:

2 A n   E 2 + A 2   E 2 =   2 A 1   E 1 + A 2   E 2

A n = E 1 E 2 A 1

Resposta

Área exigida:

A n = E 1 E 2 A 1

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