Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 72

Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na figura. Se o conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos quando a temperatura é T 1 = 20   ° C , determine a tensão normal média em cada material quando a temperatura atingir T 2 = 40   ° C .

Passo 1

Três cilindros de materiais e tamanhos diferentes estão em sequência e entre duas paredes (rígidas!). A temperatura do conjunto todo muda, Δ T = T 2 - T 1 = 20   ° C .

Características do cilindro A B :

  • Alumínio 2014 -T 6 : E A B = 73,1   GPa , α A B = 23 10 - 6   ° C - 1 .
    • Área: A A B = π ⋅ 300 2 / 4 = 70685,83   mm 2 .
    • Comprimento inicial: L A B = 1,2   m .

      • Características do cilindro B C :

    • Bronze C 86100 : E B C = 103   GPa , α B C = 17 10 - 6   ° C - 1 .
    • Área: A B C = π ⋅ 200 2 / 4 = 31415,83   mm 2 .
    • Comprimento inicial: L B C = 1,8   m .

      • Características do cilindro C D :

    • Aço inoxidável 304 : E C D = 193   GPa , α C D = 17 10 - 6   ° C - 1 .
  • Área: A C D = π ⋅ 100 2 / 4 = 7853,98   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L C D = 0,9   m .

Como a temperatura mudou, todos os cilindros vão expandir.

Queremos descobrir a tensão normal em cada cilindro. A fórmula pra tensão é

σ = F A

Sabemos as áreas, então vamos buscar as forças em cada parte do conjunto!

Passo 2

Vamos ver como fica o diagrama de corpo livre em cada cilindro.

A condição de equilíbrio ∑ F = 0 precisa ser verdade em cada cilindro!

F A = F B ,         F B = F C ,         F C = F D

Show, então só temos que achar uma força! Vamos chamar ela de F . Note que ela está comprimindo os cilindros

Temos que procurar alguma equação agora que use essa força. Vejamos a condição de compatibilidade.

Passo 3

Vamos ter dois efeitos:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão térmica, δ T .
  • A compressão vai diminuir os cilindros um certo comprimento: δ F .

As paredes são fixas (rígidas), então o resultado aí de toda essa mudança de comprimento (expande e comprime em cada cilindro) tem que ser zero! Vamos escrever os efeitos acontecendo em cada cilindro, somar tudo, e aí resumir com δ T e δ F .

δ T A B + δ T B C + δ T C D - δ F A B - δ F B C - δ F C D = 0

δ T - δ F = 0

Fácil! Só temos que usar as fórmulas manjadas pra calcular cada um desses termos.

Passo 4

Vamos fazer as expansões térmicas primeiro. Use a fórmula:

δ = α   Δ T   L

Para cada cilindro, encontramos:

δ T A B = 0,552   mm

δ T B C = 0,612   mm

δ T C D = 0,306   mm

Somando tudo, temos o efeito total de expansão térmica:

δ T = δ T A B + δ T B C + δ T C D = 1,470   mm

Passo 5

Agora vejamos o efeito da compressão. Relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

Para cada cilindro, encontramos:

δ F A B = F × 1,2   m 70685,83   m m 2 × 73,1   G P a

Lembra que G (giga) é 10 9 e que P a (Pascal) é N / m 2 ?? Ahh... e vamos passar m m 2 pra m 2 (multiplica por 10 - 6 ):

δ F A B = F × 1,2   m 70685,83 × 10 - 6   m 2 × 73,1 × 10 9 N / m 2

Fazendo esse vucuvuco todo:

δ F A B = 2,32 ⋅ 10 - 10 m /N ⋅ F

Maaaas mais pra frente a gente vai precisar fazer uma subtração, então vamos deixar em m m , beleza??

δ F A B = 2,32 ⋅ 10 - 7 mm /N ⋅ F

Para os outros:

δ F B C = 5,56 ⋅ 10 - 7   mm/N ⋅ F

δ F C D = 5,94 ⋅ 10 - 7   mm/N ⋅ F

Somando tudo, temos o efeito total de compressão:

δ F = δ F A B + δ F B C + δ F C D = 13,82 ⋅ 10 - 7   mm/N ⋅ F

Passo 6

Finalmente, voltamos para a condição de compatibilidade, podendo agora calcular F :

δ T - δ F = 0 → 1,470   mm - 13,82 ⋅ 10 - 7   mm/N ⋅ F = 0

F = 1,06367 × 10 6

F = 1063 , 6 7   kN

Passo 7

Ufa! Agora só falta calcular as tensões com σ = F / A :

σ A B = 15,04   MPa

σ B C = 33,85   MPa

σ C D = 135,40   MPa

Resposta

Tensão no alumínio: σ A B = 15,04   MPa .

Tensão no bronze: σ B C = 33,85   MPa .

Tensão no aço inoxidável: σ C D = 135,40   MPa .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas e instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T 1 = 10° C . Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando a temperatura for T
A haste central C D do conjunto é aquecida de T 1 = 30° C até T 2 = 180° C por resistência elétrica. As duas hastes A B e E F situadas nas extremidades também são aquecidas de T 1 = 30° C até T 2 = 5
Um rebite de aço com 6mm de diâmetro a uma temperatura de 800° C está preso entre duas chapas de tal modo que, nessa temperatura, ele tem 50mm de comprimento e exerce uma força de aperto de 1,25kN ent
A haste de alumínio 2014-T 6 tem diâmetro de 12mm e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quando T 1 = 40° C . Determine a força P que deve ser aplicada ao colar de modo que, quando T =
A haste de alumínio 2014-T 6 tem diâmetro de 12mm e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quando T 1 = 25° C . Se a temperatura baixar para T 2 = - 20° C e uma força axial P = 80N for a