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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 9

Considere um projétil disparado verticalmente em um campo gravitacional constante. Para as mesmas velocidades iniciais, compare os tempos necessários para que o projétil alcance sua altura máxima (a) para força resistiva zero, (b) para uma força resistiva proporcional à velocidade instantânea do projétil.

Passo 1

E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Para que a gente responda à questão, vamos primeiro lembrar da equação do movimento que diz que:

v = v 0 + a t

Dado que não temos a resistência do ar, por substituição teremos:

0 = v 0 - g t

Portanto, temos:

t = v 0 g

Passo 2

Letra (b):

Agora a situação é diferente, vamos aplicar a segunda lei de newton em caso de resistência do ar:

F = m d v d t = - m g - R v

Onde R é a constante de proporcionalidade, seja R = s m onde s é uma constante.

Por integração para resolver v , temos:

d v d t = - g - s v

Integrando teremos:

s v = - g + s v 0 + g e - s t

No ponto de altura máxima v = 0 , portanto, temos:

v 0 = g e s t - 1 s

Resolvendo para t , ficamos com:

s t = ln ⁡ 1 + s v 0 g

s t = s v 0 g - 1 2 v 0 g 2 + 1 3 v 0 g 3 - …  

Portanto, o tempo no caso da resistência do ar é:

s = s v 0 g - s 1 2 v 0 g 2 + s 2 1 3 v 0 g 3 - …  

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a):

t = v 0 g

Letra (b):

t = v 0 g - s 1 2 v 0 g 2 + s 2 1 3 v 0 g 3 - …  

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