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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 60

Considere a viga em balanço AB discutida na Seção 6.5 e a parte ACKJ da viga que está localizada à esquerda da seção transversal CC´ e acima do plano horizontal JK, em que K é um ponto a uma distância y < y E acima da linha neutra (Figura). (a) Lembrando que σ x = σ E entre C e E, e σ x = ( σ E / y E ) y entre E e K, mostre que a intensidade da força cortante horizontal H que atua na face inferior da parte da viga ACKJ é

H = 1 2 b σ E   2 C - y E - y 2 y E

(b) Observando que a tensão de cisalhamento em K é

τ = lim ⁡ ∆ A → 0   ∆ H ∆ A = lim ⁡ ∆ x → 0   1 b   ∆ H ∆ x =   ⁡ 1 b   ∂ H ∂ x

e lembrando que y E   é uma função de x definida pela Equação (6.14), deduza a Equação (6.15).

Passo 1

Galerinha, vamos ver os dados que temos para usarmos as fórmulas e realizar nosso cálculo:

O ponto K está localizado na distância y acima do eixo neutro.

A distribuição da tensão é dada por

σ = σ y y y y por 0 ≤ y ≤ y y e σ = σ y por y y ≤ y ≤ c .

Passo 2

Para o equilíbrio das forças horizontais agindo sobre ACKJ,

H = ∫ σ d A =   ∫ y y y σ Y y b y Y d y + ∫ y Y C σ Y b   d y

=   σ Y b y Y   y Y 2 - y ² 2 + σ y b ( c - y Y )

H = 1 2 b   σ Y   2 C - y Y - y 2 y Y

Note que y Y é uma função de x.

τ x y = 1 b ∂ H ∂ x = 1 2 σ Y -   ∂ y Y ∂ x + y 2 y y 2   d y Y d x

= - 1 2 σ Y   1 - y 2 y y 2 d y Y d x

Porém

M = P x = 3 2 M y   1 - 1 3   y y 2 C 2

Diferenciador,

d M d x = P = 3 2 M Y - 2 3 y Y C 2 d y Y d x

d y Y d x = - P c 2 y Y M Y = - P c 2 y Y 2 3 σ Y   b c 2 = - 3 2   P σ Y   b y Y

Então

τ x y = 1 2 σ Y   1 - y 2 y y 2 3 2   P σ Y   b y Y = 3 P 4 b y Y   1 - y 2 y y 2

Resposta

Então gurizada, como acabamos de calcular, temos a resposta de (a) que é H = 1 2 b   σ Y   2 C - y Y - y 2 y Y ; e a resposta de (b) é: τ x y = 1 2 σ Y   1 - y 2 y y 2 3 2   P σ Y   b y Y = 3 P 4 b y Y   1 - y 2 y y 2 .

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