Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 146
Consulte os Problemas 18.143 e 18.144.
(a) Mostre que a curva (chamada pc / bode) descrita pela ponta do vetor em relação a um referencial que coincide com os principais eixos de inércia do corpo rígido é definida pelas equações
(1)
(2)
e que esta curva pode, portanto, ser obtida cruzando o elipsóide de Poinsot com o elipsóide definido pela Eq. (2)
(b) Mostre ainda, assumindo , que os pólos obtidos para vários valores de H0 têm as formas indicadas na figura.
(c) Usando o resultado obtido na Parte b, mostre que um corpo rígido sem nenhuma força pode girar em torno de um eixo centróide fixo se, e somente se, esse eixo coincidir com um dos principais eixos de inércia do corpo, e que o movimento será estável se o eixo de rotação coincidir com o eixo maior ou menor do elipsóide de Poinsot (z ou eixo na figura) e instável se coincidir com o intermediário. eixo (eixo y).
Passo 1
A equação (1) expressa a conservação de energia como mostrado na solução do Problema 18.141. É a equação do elipsóide de Poinsot.
Temos que:
Então
(3)
Passo 2
Que é a equação de um elipsoide,? Vamos relembrar :D
A equação (2) expressa a constância de , o quadrado da magnitude do vetor momento angular.
Deixe
Então (4)
Que é a equação do segundo elipsoide
Como as coordenadas da ponta do vetor devem satisfazer ambas as Equações (I) e (2), a curva descrita pela ponta de a é a interseção dos dois elipsóides.
Passo 3
(b) Assuma que
Então
Assim, para ambos os elipsóides, o eixo menor é direcionado ao longo do eixo x, o eixo intermediário ao longo do eixo y e o eixo principal ao longo do eixo z. No entanto, como a proporção do semieixo maior para o menor é para o elipsóide de Poinsot e é através do segundo elipsóide, o desvio de uma forma esférica é mais pronunciado no segundo elipsóide. O maior elipsóide do segundo tipo a estar em contato com o elipsóide de Poinsot ficará fora desse elipsóide e o tocará em seus pontos de intersecção com o eixo x, e o menor ficará dentro do elipsóide de Poinsot e o tocará em seus pontos de intersecção com o eixo z (ver desenho à esquerda). Todos os elipsóides do segundo tipo compreendidos entre estes dois cruzarão o elipsóide de Poinsot ao longo das curvas chamadas polhodes, como mostrado na figura à direita.
Passo 4
Observe que o elipsóide do segundo tipo, que tem o mesmo eixo intermediário do elipsóide de Poinsot, intercepta esse elipsóide ao longo de duas elipses cujos planos contêm o eixo y. Essas curvas não são polhodes, uma vez que a ponta de co não as descreverá, mas separam os polhodes em quatro grupos. Dois grupos circulam em torno do eixo menor (eixo x) e os outros dois em torno do eixo maior (eixo z). Se o corpo for configurado para girar em torno de um dos eixos principais, o elipsóide .Poinsot permanecerá em contato com o plano invariável no mesmo ponto (no eixo x, y ou z); a rotação é constante. Em qualquer outro caso, o ponto de contato estará localizado em um dos pólos, e a ponta de co começará a descrever esse polhode, enquanto o elipsóide de Poinsot rola no plano invariável. Uma rotação em torno do eixo menor ou maior (eixo x ou z) é estável. Se esse movimento for perturbado, a ponta do co se moverá para um polhode muito pequeno ao redor desse eixo e ficará perto de sua posição original. Por outro lado, uma rotação em torno do eixo intermediário (eixo y) é instável. Se esse movimento for perturbado, a ponta do co se moverá para um dos pólos localizados próximo a esse eixo e começará a descrevê-lo, saindo completamente de sua posição original e fazendo com que o corpo tombe.
Resposta
uma rotação em torno do eixo intermediário (eixo y) é instável. Se esse movimento for perturbado, a ponta do co se moverá para um dos pólos localizados próximo a esse eixo e começará a descrevê-lo, saindo completamente de sua posição original e fazendo com que o corpo tombe.