Enunciado

O eixo maciço de 60   m m de diâmetro é feito de aço A-36 e está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura. Determine o ângulo de torção na extremidade livre A do eixo devido a esses carregamentos.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem?

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

d = 60   m m

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9 P a

E pede que determinemos o ângulo de torção na extremidade livre A . Podemos observar pela imagem, que há uma distrubuição de torque do ponto B (fixo), até uma distância 0,8   m no eixo, onde vamos nomear de ponto C .

L B C = 0,8   m

L C A = 0,6   m

A ideia é que o ângulo em A vai ser a soma do ângulo das seções B C e A C .

Precisamos dos torques em cada seção. Vamos então construir o diagrama de corpo livre das seções A C e A B :

Aí a gente acha esses carinhas!

Passo 2

O torque interno no seguimento A C é constante. (está entre dois torques pontuais) Pelo diagrama de corpo livre, temos:

↻ + ∑ M x = 0

T A C = 400   N ⋅ m

Passo 3

Observe o diagrama de corpo livre. Para obtermos o torque distribuído ao longo do segmento B C , fazemos um corte, há uma distância x do ponto C e multiplicamos o valor do carregamento de torção por essa distância:

T x = 2000 x

Fazendo o somatório dos momentos em todo o eixo AB, temos:

↻ + ∑ M x = 0

T B C + 2000 x - 600 + 400 = 0

T B C = 200 - 2000 x

Prontinho, achamos os torques nas duas seções.

Passo 4

O ângulo ϕ A é determinado pelo ângulo causado por T A C   e   T B C . Observando sempre o sentido dos torques. Como no nosso DCL eles tem sentidos opostos, fazemos:

ϕ A = - T A C L A C J G a ç o + ∫ 0 L B C T B C d x J G a ç o

Repara que para o torque em A C que é constante, usamos a fórmula comum para o ângulo. Mas para T B C que é uma função de x , precisamos usar a carinha de integral do ângulo. Basicamente, a gente em vez de multiplicar T por L , nós integramos T de 0 a L .

O momento polar de inércia, J , é dado por:

J = π 2 ⋅ ( c 4 )

Substituindo nossos dados, temos:

ϕ A = 2 ⋅ 400 ⋅ 0,6 π ⋅ 0,03 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 - ∫ 0 0,8 200 - 2000 x d x π 2 ⋅ 0,03 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9

Resolvendo:

ϕ A = 0,007545123   r a d  

Convertendo para graus:

ϕ B = 0,007545123   r a d ⋅ 180 ° π

ϕ B = 0,432 °

Resposta

ϕ B = 0,432 °

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Determinar o maior diâmetro admissível de uma barra de aço de 3m de comprimento ( G = 77G P a ), se a barra é torcida de 90 ° , sem exceder a uma tensão de cisalhamento de 100M P a .
Pede-se determinar: (a) o torque T que causa um ângulo de torção de 3° no eixo cilíndrico vazado de aço ( G = 77G P a ); (b) o ângulo de torção causado pelo mesmo torque T , num eixo cilíndrico maciço
Os torques mostrados são aplicados às polias A ,B e C . Sabendo-se que todo o eixo é maciço e feito de latão ( G = 39G P a ), determinar o ângulo de torção entre: (a) A e B ; (b) A e C .
Sabendo-se que o eixo do Prob 3.124 tem 1,2m e que G=26 GPa, determinar o ângulo de torção causado pelo torque de 6,8k N m