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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 171

As coordenadas retangulares de uma partícula são dadas em milímetros como funções do tempo t em segundos por x = 30 cos ⁡ ( 2 t ) , y = 40   s e n ( 2 t ) e z = 20 t + 3 t 2 . Determine o ângulo θ 1 entre o vetor posição r e a velocidade v e o ângulo θ 2 entre o vetor posição   r e a aceleração a , ambos no instante t = 2   s .

Passo 1

Galera, primeiro vamos derivar cada expressão em relação ao tempo para achar as componentes da velocidade e da aceleração:

x = 30 cos ⁡ ( 2 t )                   y = 40   s e n 2 t                     z = 20 t + 3 t 2

x ˙ = - 6 0 sen ⁡ 2 t                   y ˙ = 8 0   c o s 2 t                     z ˙ = 20 + 6 t

x ¨ = - 12 0 cos ⁡ 2 t                   y ¨ = - 16 0   s e n 2 t                   z ¨ = 6

Passo 2

Em seguida, substituímos t = 2   s em cada expressão:

x = 30 cos ⁡ ( 4 )                   y = 40   s e n 4                     z = 52

x ˙ = - 60 sen ⁡ 4                   y ˙ = 80   c o s 4                     z ˙ = 3 2

x ¨ = - 120 cos ⁡ 4                   y ¨ = - 160   s e n 4                     z ¨ = 6

Então, obtemos os vetores posição, velocidade e aceleração:

r = 30 cos ⁡ 4 ;       40   s e n 4   ;       52

v = - 60 sen ⁡ 4 ;       80   c o s 4   ;       32

a = - 120 cos ⁡ 4 ;       - 160   s e n 4   ;       6

Passo 3

Agora, lembre-se que o produto escalar entre dois vetores u e v pode ser obtido assim

u ∙ v = u v cos ⁡ θ

onde θ é o ângulo entre os vetores. Então podemos calcular θ desse modo:

θ = cos - 1 ⁡ u ∙ v u v

Para os vetores r e v , teremos:

θ 1 = cos - 1 ⁡ r ∙ v r v

θ 1 = cos - 1 ⁡ 30 - 60 cos ⁡ 4 s e n ( 4 ) + ( 40 ) ( 80 )   s e n 4 cos ⁡ 4 + ( 52 ) ( 32 ) ( 30 2 cos 2 ⁡ 4 + 40 2   s e n 2 4 + 52 2 60 2   s e n 2 4 + 80 2 cos 2 ⁡ 4 + 32 2

θ 1 = 60,8 °

Passo 4

Para os vetores r e a , obtemos θ 2 analogamente:

θ 2 = cos - 1 ⁡ r ∙ a r a

θ 2 = cos - 1 ⁡ 30 - 120 cos 2 ⁡ 4 + 40 - 160   s e n 2 4 + ( 52 ) ( 6 ) ( 30 2 cos 2 ⁡ 4 + 40 2   s e n 2 4 + 52 2 120 2 cos 2 ⁡ ( 4 ) + 160 2   s e n 2 4 + 6 2

θ 2 = 122,4 °

Resposta

θ 1 = 60,8 °

θ 2 = 122,4 °

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