53. O corpo de 2,0   k g está fixado a duas molas cada uma das quais com uma rigidez de 1,2   k N / m . O corpo está montado sobre uma mesa vibratória que oscila harmonicamente na direção horizontal com uma amplitude de 12   m m e uma frequência f que pode ser variada. O fornecimento de energia elétrica para a mesa vibratória é desligado quando o contato elétrico é feito em A ou B . Determine o valor máximo da frequência f em que a mesa vibratória pode ser operada sem desligar o aparelho, quando ele parte do repouso e aumenta sua frequência gradualmente. O amortecimento pode ser desprezado. A posição de equilíbrio é centralizada entre os contatos fixos.

Passo 1

Bom! Primeiramente vamos tratar de obter a frequência natural ω n   do nosso sistema, que é dada pela fórmula abaixo:

ω n   = 2 k m

Multiplicamos k por 2 , porque o sistema está fixado por duas molas dada uma com sua rigidez k . Agora, vamos tratar de substituir os valores numéricos pertinentes na nossa formulinha acima:

ω n   = 2 ( 1200   N / m ) 2   k g

ω n   ≅ 34,64   r a d / s

Passo 2

Em seguida, borá aplicar a fórmula da amplitude X em regime permanente para uma oscilação harmônica da base:

X = b 1 - ω ω n 2

E olhando a questão tiramos que o valor de b é igual a ( 12 m m = 1,2 c m ) .

Além disso, analisando a figura do enunciado, também podemos obter o valor da nossa amplitude X , que é dada por:

X = 1 2 250   m m - 200   m m

X = 25   m m = 2,5   c m

Com isso temos tudo que precisamos para encontrar a frequência ω da nossa oscilação. Vamos então, substituir os valores que já conhecemos, na fórmula do X :

X = b 1 - ω ω n 2

2,5   c m = 1,2   c m 1 - ω 34,64   r a d / s 2

1 - ω 34,64   r a d / s 2 = 1,2   c m 2,5   c m

- ω 34,64   r a d / s 2 = 0,48 - 1

ω 34,64   r a d / s 2 = 0,52

ω 34,64   r a d / s 2 = 0,52

ω 34,64   r a d / s = 0,721

ω ≅ 0,721 ⋅ 34,64   r a d / s

ω ≅ 24,98   r a d / s

Passo 3

Como já obtemos nossa frequência angular ω , basta lembrar que ela está relacionada com a frequência de acordo com a seguinte fórmula:

ω = 2 π f

f = ω 2 π

É só substituir ω que encontramos nossa resposta. Vamos lá!

f = 24,98   r a d / s 2 π

f ≅ 3,96   H z

Resposta

f ≅ 3,96   H z

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