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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 61

61. Uma força propulsora variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmônico amortecido. a ) Quais são as unidades da constante de amortecimento b ? b ) Mostre que a grandeza k m possui as mesmas dimensões de b . c ) Em termos de F m á x e de k , qual é amplitude para ω d = k / m quando i )   b = 0,2 k m e i i )   b = 0,4 k m ? Compare seus resultados com a Figura 13.28 .

Passo 1

A amplitude de uma oscilação amortecida com uma força propulsora periódica é dada pela seguinte fórmula:

A = F m á x   k - m ω d 2 2 + b 2 ω d 2

Temos nessa fórmula a constante de amortecimento e podemos isolá-la, mas para isso vamos considerar o termo k - m ω d 2 = 0 , assim poderemos ver a unidade de b .

Vamos analisar a dimensão de k m e comparar com o de b para respondermos o item ( b ) .

Para o item ( c ) o enunciado nos fala que que temos uma frequência angular ω d = k / m e ele quer saber os outros valores de amplitude, para outras constantes de amortecimento.

Passo 2

Vamos encontrar o que o item ( a ) quer de nós, para isso vamos considerar k - m ω d 2 = 0 , na fórmula da amplitude, temos:

A = F m á x b 2 ω d 2

⇒ b 2 ω d 2 = F m á x A

⇒ b = F m á x A ω d

Agora, temos que analisar as dimensões dos termos que temos presentes na fórmula para saber dimensão de b .

Temos que:

F m á x → N → k g ⋅ m / s 2

A → m

ω → s - 1

Então:

b = [ k g ⋅ m / s 2 ] [ m ⋅ s - 1 ]

⇒ b = [ k g / s ]

Passo 3

Agora vamos analisar a dimensão de k m

Temos que:

k → N / m → ( k g ⋅ m / s 2 ) / m → k g / s 2

m → k g

Assim:

k m ⇒ k g / s 2 ⋅ k g 1 / 2

⇒ k g / s

Passo 4

Agora vamos substituir ω d = k / m na fórmula da amplitude, temos:

A = F m á x   k - m k m 2 + b 2 k m

⇒ A = F m á x b k m

⇒ A = F m á x b m k

Agora vamos substituir as constantes de amortecimento dos itens i ) e i i ) .

Primeiro vamos fazer i )   b = 0,2 k m .

A = F m á x 0,2 k m m k

⇒ A = F m á x 0,2 k

= 5 F m á x k

Agora vamos fazer i i )   b = 0 , 4 k m

A = F m á x 0 , 4 k m m k

⇒ A = F m á x 0 , 4 k

= 2 , 5 F m á x k

Os dois resultados concordam com a Figura 13.28 no livro. À medida que b aumenta a amplitude máxima diminui.

Resposta

a

b ⇒ [ k g / s ]

( b )

k m ⇒ k g s ⇐ b

( c )

i )   A = 5 F m á x k

i i )   A = 2,5 F m á x k

Os dois resultados concordam com a Figura 13.28 no livro. À medida que b aumenta a amplitude máxima diminui.

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