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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 37

A mola com constante k = 200   N / m está fixada no suporte e no cilindro de 2   k g , que desliza livremente sobre a guia horizontal. Se uma força constante de 10   N é aplicada ao cilindro no instante de tempo t = 0 quando a mola está sem deformação e o sistema está em repouso, determine a velocidade do cilindro quando x = 40   m m . Também determine o deslocamento máximo do cilindro.

Passo 1

Pessoal, enquanto uma força de 10   N age para a direita sobre o bloco, uma força elástica de módulo k x age para a esquerda. Então, aplicamos a Segunda Lei de Newton:

10 - k x = m a

10 - 200 x = 2 a

a = 5 - 100 x

a = 5 - 100 x

Já que temos a aceleração em termos de x e queremos achar a velocidade, usamos a seguinte equação diferencial:

v   d v = a   d x

v   d v = 5 - 100 x   d x

∫ 0 v v d v = ∫ 0 x 5 - 100 x d x

v 2 2 = 5 x - 50 x 2

v 2 = 10 x - 100 x 2

Passo 2

Através da equação que acabamos de obter, podemos calcular a velocidade quando x = 40   m m = 0,040   m :

v 2 = 10 0,04 - 100 0,04 2

v 2 = 0,24

v = ±   0,49 0   m / s

Considerando a primeira vez que o cilindro passa por esse ponto, temos uma velocidade v = +   0,49 0   m / s (para a direita).

Para descobrir o deslocamento máximo, fazemos v = 0 , pois é ponto onde a velocidade passa de positiva para negativa:

0 2 = 10 x - 100 x 2

0 = 10 x ( 1 - 10 x )

x = 0           o u           x = 0,1   m

Como x = 0 é o ponto inicial, temos que o deslocamento máximo é de 100   m m .

Resposta

v = 0,49 0   m / s

x m á x = 100   m m

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