Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas de Revisão - Ex. 6
Uma corrente é suspensa entre pontos na mesma altura e espaçados de uma distância de 60 m. Se tiver uma massa por unidade de comprimento de 8 kg/m e a flecha for 3 m, determine a tração máxima na corrente.
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Nesta questão nós precisamos determinar a tração máxima na corrente, sabendo que ela possui uma massa por unidade de comprimento de 8 kg/m e flecha de 3 m.
Para auxílio podemos sempre ir no Exemplo 7.13, pois esta questão possui a mesma geometria que este exemplo.
Então, para determinarmos a tração máxima, precisamos determinar a equação da curva que define a corrente. E para isto, como a corrente está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:
Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:
Sendo o peso da corrente dado por:
Passo 2
Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.
Para o sistema de coordenadas fixado no ponto de mínimo da corda, teremos as seguintes condições: em e . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações
Vamos começar aplicando . Para isto, precisamos lembrar que:
Sendo esse o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:
Aplicando a condição que quando , temos:
E assim chegamos à relação:
E consequentemente,
Passo 3
Para que a gente consiga descobrir quem é , vamos ter que obter uma função do tipo .
Mas, no Passo 2 nós já escrevemos uma relação para . Trabalhando com esta relação, teremos:
Precisamos aplicar novamente condições de contorno! Quando , temos . Logo,
E por fim, quando , temos . Logo,
Resolvendo a equação acima nós obtemos .
Passo 4
Agora que a gente já obteve o valor de , nós já podemos calcular a tração máxima na corrente. Esta tração ocorrerá no ponto de maior inclinação. Isto é, o ponto em que for máximo.
Para esta questão, como , obtido no Passo 2, então, a inclinação será máxima nas extremidades, em .
Escolhendo , teremos .
Por fim, a tração máxima será:
E assim finalizamos a questão!