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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 114

Um cubo sólido do lado c = 120 mm é preso como mostrado a um cabo AB de comprimento 240 mm. O cubo gira em torno de sua diagonal BC e processa em torno do eixo vertical AD. Sabendo que θ = 25 ∘  e  β = 40 ∘ , determine (a) a taxa de rotação do cubo e (b) sua taxa de precessão. (Veja a sugestão do Problema 18.113.)

Passo 1

Use eixos centróides x, y, z de modo que o eixo z fique ao longo da diagonal do corpo BC e o eixo x esteja no plano de A, B, C e D. Seja e o comprimento GB.

e = 3 2 c

Momento de Inércia

I x = I y = I z = 1 6 m c 2

Velocidade angular

ω = - ϕ ˙ s i n ⁡ θ i + ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Passo 2

Momento angular sobre centro de massa G

H G = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k = - I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i + I ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Deixe o quadro de referência Gxyz rodar com velocidade angular

Ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ k

H ˙ G = Ω × H G = I φ ˙ ψ ˙ sin ⁡ θ - I ' - I φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ j

Passo 3

Aceleração do centro de massa

a ¯ = ( / s i n ⁡ β + e s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 ←

Σ F = Σ F eff  '

+ ↑ :   T c o s ⁡ β - m g = 0 , T = m g cos ⁡ β (1)

+ ← :   T s i n ⁡ β = m a -

g t a n ⁡ β = ( l s i n ⁡ β + e s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 (2)

+ ) Σ M G = T e s i n ⁡ ( β - θ ) = H ˙ G

m g e s i n ⁡ ( β - θ ) cos ⁡ β = I ψ ˙ φ ˙ s i n ⁡ θ - I ' - I φ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ (3)

Passo 4

Dados

c = 120 m m = 0.12 m e = 3 2 ( 0.12 ) = 0.103923 m

l = 240 m m = 0.24 m

I m = I ' m = 1 6 c 2 = 1 6 ( 0.12 ) 2 = 2.4 × 10 3 m 2 I ' - I = 0 θ = 25 ∘         β = 40 ∘               θ - β = 15 ∘

Passo 5

Da Eq (2)

( 9.81 ) t a n ⁡ 40 ∘ = 0.24 s i n ⁡ 40 ∘ + 0.103923 s i n ⁡ 25 ∘ φ ˙ 2

φ ˙ 2 = 41.534               φ ˙ = 6.4447 r a d / s

Da Eq (3)

( 9.81 ) ( 0.103923 ) s i n ⁡ 15 ∘ cos ⁡ 40 ∘ = 2.4 × 10 - 3 ψ ( 6.4447 ) s i n ⁡ 25 ∘

(a) ψ ˙ = 52.694 r a d / s

ψ ˙ = 52.7 r a d / s

(b) φ ˙ = 6.44 r a d / s

Resposta

a ψ ˙ = 52.7 r a d / s

(b) φ ˙ = 6.44 r a d / s

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