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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 133

Uma placa retangular homogênea de massa nos lados c e 2c é mantida em A e B por um eixo com extremidade em garfo de massa desprezível, que é suportado por um rolamento em C. A placa está livre para girar em torno de AB e o eixo é livre para girar em torno de um eixo horizontal através de C Sabendo que, inicialmente, θ 0 = 30 ∘ , θ ˙ 0 = 0 ,  e  ϕ ˙ 0 = 6 r a d / s , determine para o movimento garantidor (a) a faixa de valores de θ , (b) o valor mínimo de A (c) o valor máximo de ϕ ˙ .

Passo 1

O exercício pede que a gente determine para o movimento garantidor (a) a faixa de valores de θ , (b) o valor mínimo de A (c) o valor máximo de ϕ ˙ .

Usando o eixo Gxyz ω ˙ = ϕ ˙ c o s ⁡ θ i + θ j + ϕ ˙ s i n ⁡ θ k

Conservação do momento angular

Uma vez que o quadro é livre para rodar sobre eixo Z

H z =  constant e

Mas H Z = H x c o s ⁡ θ + H z s i n ⁡ θ (1)

H Z = I x ω x c o s ⁡ θ + I z ω 2 s i n ⁡ θ

= 1 12 m c 2 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ θ + 5 12 m c 2 ϕ ˙ s i n 2 ⁡ θ = 1 12 m c 2 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ θ + 5 s i n 2 ⁡ θ = 1 12 m c 2 ϕ ˙ 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ

Usando a condição inicial, eq (1) rende

ϕ ˙ 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ = ϕ ˙ 0 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ 0 (2)

Passo 2

Conservação de energia

Uma vez que nenhum trabalho é feito T= constante

T = 1 2 I x ω x 2 + l y ω y 2 + I z ω z 2

T = 1 2 1 12 m c 2 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ θ + 1 3 m c 2 θ ˙ 2 + 5 12 m c 2 ϕ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ

= 1 24 m c 2 4 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ θ + 5 s i n 2 ⁡ θ = 1 24 m c 2 4 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ

Usando a condição inicial, incluindo θ ˙ 0 = 0 , eq(3) rende

4 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ = ϕ ˙ 0 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ 0 (4)

Passo 3

(a) com θ 0 = 30 ∘  e  ϕ ˙ 0 = 6 r a d / s em equações (2) e (4)

ϕ ˙ 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ = 12

4 θ ˙ 2 + ϕ ^ 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ = 72 2 ' , 4 '

Eliminando ϕ ˙ e resolvendo em θ ˙ 2 :     θ ˙ 2 = 18 - 36 1 + 4 s i n ⁡ θ (5)

Para θ ˙ 2 ≥ 0 : 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ ≥ 2 , s i n 2 ⁡ θ ≥ 1 4

30 ∘ ≤ θ ≤ 150 ∘

(b) da equação (2) ϕ ˙  é mínimo para   θ = 90 ∘ : ϕ ˙ m i n = 2.40 r a d / s

(c) da eq (5), θ ˙  é máximo para  θ = 90 ∘ : θ ˙ m a x = 3.29 r a d / s

Resposta

a 30 ∘ ≤ θ ≤ 150 ∘

(b) ϕ ˙ m i n = 2.40 r a d / s

(c) θ ˙ m a x = 3.29 r a d / s

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