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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 118

Um registro fotográfico de alta velocidade mostra que um determinado projétil foi disparado com uma velocidade horizontal V de 600 m / se com seu eixo de simetria formando um ângulo β = 3 ∘ com a horizontal. A taxa de spin ψ ˙ do projétil foi de 6000 rpm, e o arrasto atmosférico foi equivalente a uma força D de 120 N atuando no centro de pressão C P , localizado a uma distância c = 150 mm de G. (a) Sabendo que o projétil tem uma massa de 20 kg e um raio de giração de 50 mm em relação ao seu eixo de simetria, determine sua taxa aproximada de precessão constante. (b) se for mais conhecido que o raio de rotação do projétil em relação a um eixo transversal através de G é de 200 mm, determine os valores exatos das duas possíveis taxas de precessão.

Passo 1

E ai pessoal tudo certinho? O exercício pede que a gente faça as seguintes considerações: (a) Sabendo que o projétil tem uma massa de 20 kg e um raio de giração de 50 mm em relação ao seu eixo de simetria, determine sua taxa aproximada de precessão constante. (b) se for mais conhecido que o raio de rotação do projétil em relação a um eixo transversal através de G é de 200 mm, determine os valores exatos das duas possíveis taxas de precessão.

Escolhendo o eixo centroidal principal xyz como mostrado Temos que reduzir a força de arrasto para um sistema de força- no centro de massa, tal como considerando a força e momento a seguir :D

F = ( D s i n ⁡ β - W c o s ⁡ β ) i - ( D c o s ⁡ β - W s i n ⁡ β ) k

M G = D c s i n ⁡ β j

Passo 2

Para a ocorrência de precessão constante, o eixo de precessão deve ser paralelo à força de arrasto então para isso consideramos: θ = β = 3 ∘

  1. do livro temosque considerar:

Σ M G = H ˙ G

D c s i n ⁡ β = l ω z - I ' φ ˙ c o s ⁡ θ φ ˙ s i n ⁡ θ

Usando β = θ e ω 2 = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ nos dá

1 ψ ˙ φ ˙ - I ' - I φ ˙ 2 c o s ⁡ θ = D C (1)

Levando em conta o termo quadrático em φ ˙

I ψ ˙ φ ˙ = D c           φ ˙ = D c Λ ψ ˙

Passo 3

  1. Agora vamos considerar os dados fornecidos no enunciado :D

Dados

m = 20 k g , W = m g = ( 20 ) ( 9.81 ) = 196.2 N I = m k z 2 = ( 20 ) ( 0.050 ) 2 = 0.05 k g ⋅ m 2

ψ ˙ = 6000 r p m = 628.32 r a d / s , c = 150 m m = 0.15 m

φ ≈ ( 120 ) ( 0.15 ) ( 0.05 ) ( 628.32 ) = 0.57296 r a d / s

φ ˙ = 5.47 r p m

Passo 4

Agora temos que determinar a inércia, antes de realizarmos a letra B :D

I ' = m k x 2 = ( 20 ) ( 0.200 ) 2 = 0.80 k g ⋅ m 2

I ' - I = 0.75 k g ⋅ m 2

Substituindo na Eq 1

( 0.05 ) ( 628.32 ) φ ˙ - ( 0.75 ) φ ˙ 2 c o s ⁡ 3 ∘ = ( 120 ) ( 0.15 )

0.74897 φ ˙ 2 - 31.416 φ ˙ + 18 = 0

φ ˙ = 20.9728 ± 20.391 = 0.581 r a d / s , 41.365 r a d / s

φ ˙ = 5.55 r p m , 395 r p m

Resposta

(a) φ ˙ = 5.47 r p m

(b) φ ˙ = 5.55 r p m , 395 r p m

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