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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 135

Um disco homogêneo de raio de 180 mm é soldado a uma haste AG de 360 ​​mm de comprimento e de massa desprezível, que é conectada por uma manilha a uma vertical AB. A haste e o disco podem girar livremente em torno de um eixo horizontal A C e o eixo AB pode girar livremente em torno de um eixo vertical. Inicialmente, a haste AG é horizontal θ 0 = 90 ∘ e não tem velocidade angular em torno de AC. Sabendo que o valor máximo ϕ ˙ m da velocidade angular de AB no movimento subsequente é duas vezes seu valor inicial ϕ ˙ 0 , determine (a) o valor mínimo de θ , (b) a velocidade angular inicial ϕ 0 do eixo AB.

Passo 1

Deixe Z como eixo vertical

Para principais eixos xyz com origem em A, o momento principal de inércia é

I ' = I x = I y

= m 1 4 a 2 + ( 2 a ) 2 = 17 4 m a 2

I = I z = 1 2 m a 2

Componentes da velocidade angular

ω x = φ ˙ s i n ⁡ θ ω y = - θ ˙ ω z = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ

Momento angular sobre A

H A = I x ω x 1 + I y ω y j + I z ω z k = I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i - I ' θ ˙ j + I ω z k

Energia cinética

T = 1 2 I x ω x 2 + 1 2 I y ω y 2 + 1 2 I z ω z 2 T = 1 2 I ' φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 2 l ω z 2

Energia potencial

V = - 2 m g a c o s ⁡ θ

Passo 2

Conservação do momento angular sobre eixos fixados z

H A ⋅ K = H A ⋅ ( i s i n ⁡ θ + k c o s ⁡ θ )

= I ' φ ˙ s i n 2 ⁡ θ + I ω z c o s ⁡ θ = 17 4 m a 2 φ ˙ sin 2 ⁡ θ + 1 2 m a 2 ω z cos ⁡ θ = α                               ( 1 )

Em que α   é   u m a   c o n s t a n t e

Conservação de energia

T + V = E ,   e m   q u e     E   é   u m a   c o n s t a n t e .   17 8 m a 2 φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 4 m a 2 ω 2 2 - 2 m g a cos ⁡ θ = E                   ( 2 )

Restrição da manilha

ψ ˙ = 0           ω z = φ ˙ c o s ⁡ θ

Passo 3

(a) da eq(1)

17 4 m a 2 φ ˙ m s i n 2 ⁡ θ m + 1 2 m a 2 φ ˙ m c o s 2 ⁡ θ m = 17 4 m a 2 φ ˙ 0 s i n 2 ⁡ 90 ∘ + 1 2 m a 2 φ ˙ 0 c o s 2 ⁡ 90 ∘

17 4 s i n 2 ⁡ θ m + 1 2 c o s 2 ⁡ θ m = 17 4 φ ˙ 0 φ ˙ n = 17 4 1 2 = 17 8

17 4 s i n 2 ⁡ θ m + 1 2 1 - s i n 2 ⁡ θ m = 17 8

s i n 2 ⁡ θ m = 13 20 s i n ⁡ θ m = 0.65828

θ m = 41.169 ∘

θ m = 41.2 ∘

Passo 4

(b) no mínimo valor de θ , θ ˙ = 0

Da eq(2) 17 8 m a 2 φ ˙ m 2 s i n 2 ⁡ θ m + 0 + 1 4 m a 2 φ ˙ m 2 c o s 2 ⁡ θ m - 2 m g a c o s ⁡ θ m

= 17 8 m a 2 φ ˙ 0 2 s i n 2 ⁡ θ 0 + 0 + 1 4 m a 2 ρ ˙ 0 2 c o s 2 ⁡ 90 ∘ - 2 m g a c o s ⁡ 90 ∘

17 8 ( 2 ) 2 s i n 2 ⁡ θ m + 1 4 ( 2 ) 2 c o s 2 ⁡ θ m - 17 8 m a 2 φ ˙ 0 2 = 2 m g a c o s ⁡ θ m

2.1250 m a 2 φ ˙ 0 2 = 1.5055 m g a

φ ˙ 0 2 = 0.70849 g a = 0.70849 9.81 0.18 = 38.613

φ ˙ 0 = 6.21 r a d / s

Resposta

a   θ m = 41.2 ∘

(b) φ ˙ 0 = 6.21 r a d / s

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