Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 141
Uma esfera homogênea de massa e raio a é soldada a uma haste AB de massa desprezível, que é mantida por um suporte de esfera e encaixe em A. A esfera é liberada na posição, com uma taxa de precessão e sem giro ou nutação. Determine o maior valor de, no movimento seguinte
Passo 1
Conservação do momento angular sobre os eixos Z e z.
Como as únicas forças externas são o peso da esfera e a reação em A, um raciocínio semelhante ao usado no Problema 1 8.109 mostra que o momento angular é conservado em torno dos eixos Z e z. Escolhendo os eixos principais A.xyz mostrados (com y horizontal e apontando para o papel), temos
Passo 2
Os momentos de inércia são
Momento angular sobre A
Escrevemos
Uma vez que
Com a condição inicial encontramos que a constante é . Então
(1)
Escrevemos
E da condição inicial, encontramos que a constante é zero. Então
(2)
Passo 3
Conservação de energia
E selecionando os dados em
Da condição inicial , nós encontramos que a constante é . Então
(3)
Substituindo por da eq (2) em eq (1) e (3)
Eq(1) (1’)
Eq(3) (3’)
Resolvendo (4)
Substituindo ´para eq (4) em (3’)
(5)
Para o valor máximo de temos e eq (5) rende
(6)
Passo 4
Dados
substituindo na eq(6)
Da locação , temos
Resolvendo a equação quadrática
Nota – no problema 18.47 onde a esfera foi impedida de girar, a mesma precessão inicial produziu