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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 113

Um cubo sólido do lado c = 80 mm é preso como mostrado ao cabo AB. Observa-se que gira a uma taxa ψ ˙ = 40 r a d / s em torno de sua diagonal BC e precessa a uma taxa constante ϕ ˙ = 5 r a d / s em torno do eixo vertical AD. Sabendo que β = 30 ∘ , determine o ângulo ϕ que a diagonal BC forma com a vertical. (Dica: o momento ou inércia de um cubo em torno de um eixo através de seu centro é independente da orientação desse eixo.)

Passo 1

Use eixos centróides x, y, z de modo que o eixo z fique ao longo da diagonal do corpo BC e o eixo x esteja no plano de A, B, C e D. Deixe e ser comprimento GB.

e = 3 2 c

Momento de inércia

I x = I y = I z = 1 6 m c 2

Velocidade angular

ω = - ϕ ˙ s i n ⁡ θ i + ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Momento angular sobre o centro de massa G

H G = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k = - I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i + I ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Deixe o quadro de referência Gxyz rodar com velocidade angular v

Ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ k

H ˙ G = Ω × H G = I φ ˙ ψ s i n ⁡ θ - I ' - I φ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ j

Passo 2

Aceleração do centro de massa

a → = ( l s i n ⁡ β + e s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 ←

Σ F = Σ F e f f

+ ↑ :       T cos ⁡ β - m g = 0 ,         T = m g cos ⁡ β (1)

+ ← :     T s i n ⁡ β = m a -

g t a n ⁡ β = ( l s i n ⁡ β + e s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 (2)

+ ) Σ M G = T e ⁡ s i n ⁡ ( β - θ ) = H ˙ G

m g e s i n ⁡ ( β - θ ) cos ⁡ β = I ψ ˙ φ ˙ s i n ⁡ θ - I ' - 1 φ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ (3)

Passo 3

Agora trazendo os dados e substituindo temos :D

c = 80 m m = 0.08 m             e = 3 2 ( 0.08 ) = 0.069282 m

I m = I ' m = 1 6 c 2 = 1.06667 × 10 - 3 m 2 I ' - 1 = 0 β = 30 ∘ ψ ˙ = 40 r a d s                   φ ˙ = 5 r a d / s

Substituindo na Eq (3)

( 9.81 ) ( 0.069282 ) s i n ⁡ ( β - θ ) cos ⁡ β = 1.06667 × 10 - 3 ( 40 ) ( 5 ) s i n ⁡ θ

0.67966 ( s i n ⁡ β c o s ⁡ θ - c o s ⁡ β s i n ⁡ θ ) = 0.21333 s i n ⁡ θ c o s ⁡ β

0.89299 sin ⁡ θ cos ⁡ β = 0.67966 sin ⁡ β cos ⁡ θ

t a n ⁡ θ = 0.76111 t a n ⁡ β = 0.76111 t a n ⁡ 30 ∘ = 0.4394 2

θ = 23.7 ∘

Resposta

θ = 23.7 ∘

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