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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 121

Mostre que o vetor de velocidade angular w de um corpo axissimétrico sob nenhuma força é observado a partir do próprio corpo girando em torno do eixo de simetria a uma taxa constante n = I ' - I I ' ω z

onde ω 2 é o componente retangular de a ao longo do eixo de simetria do corpo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente Mostre que o vetor de velocidade angular w de um corpo axissimétrico sob nenhuma força é observado a partir do próprio corpo girando em torno do eixo de simetria a uma taxa constante

Velocidade angular do corpo

ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + ( φ ˙ c o s ⁡ θ + ψ ˙ ) k

Deixe o quadro de referência Gxyz rodar com velocidade angular Ω , em que

Ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ j

Aceleração angular do corpo

α = ω ˙ G y y + Ω × ω α = 0 + φ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ θ j

Passo 2

A taxa de variação da velocidade angular observada do corpo é —a. Suponha que -a pode ser representado como o vetor de velocidade angular girando com velocidade angular l i + m j + n k ,

- α = ( l i + m j + n k ) × ω x i + ω z k = m ω z i + n ω x - l ω z j - m ω x k

Componentes correspondentes

i : 0 = m ω z m = 0

j : - φ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ θ = n ω x - l ω 2 (1)

k : 0 = - m ω x m = 0

Da equação (1) - φ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ θ = - n φ ˙ s i n ⁡ θ - l ( φ ˙ c o s ⁡ θ + ψ ˙ )

Do qual l = 0  e  n = ψ ˙

Passo 3

Usando Eq (18.44) Σ M 0 = 0  rende  l ω z - I ' φ ˙ c o s ⁡ θ = 0

Ou φ ˙ c o s ⁡ θ = I ω z I '

Mas ω z = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ = ψ ˙ + I ω z I '

Resolvendo para ψ ˙ ψ ˙ = I ' - I I ω z

Usando ω 2 = ω 2  e  n = ψ ˙  rendimentos

n = I ' - I I ' ω 2

Resposta

n = I ' - I I ' ω 2

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