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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 115

Uma esfera sólida de raio c = 3 pol. É anexada como mostrado ao cabo AB. Observa-se que a esfera processa a uma taxa constante ϕ ˙ = 6 r a d / s em torno do eixo vertical AD. Sabendo que β = 40 ∘ , determine o ângulo B que o diâmetro BC forma com a vertical quando a esfera (a) não tem spin, (b) gira em torno de seu diâmetro BC a uma taxa ψ ˙ = 50 r a d / s , (c) gira em torno de BC à taxa ψ ˙ = -   50 r a d / s

Passo 1

Use eixo principal centroidal x, y, z como mostrado

Velocidade angular

ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Momento angular sobre o centro de massa G

H G = I x ω x i + I v ω y j + I z ω z k = - I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i + I ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Deixe o quadro de referência Gxyz rolar com velocidade angular

Ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ k

H ˙ G = Ω × H c = I φ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ θ - I ' - I φ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ j

Passo 2

Aceleração do centro de massa

a ¯ = ( l s i n ⁡ β + c s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 ←

Σ F = Σ F eff  :

+ ↑ : T cos ⁡ β - m g = 0 ,       T = m g cos ⁡ β (1)

+ ← T s i n ⁡ β = m a -

g t a n ⁡ β = ( l s i n ⁡ β + c s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 (2)

+ ) Σ M G = T c s i n ⁡ ( β - θ ) = H ˙ G

m g c s i n ⁡ ( β - θ ) cos ⁡ β = 1 ψ φ ˙ s i n ⁡ θ - I ' - 1 φ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ (3)

Passo 3

Dados

c = 3 i n . = 0.25 f t , β = 40 ∘ , φ ˙ = 6 r a d / s

I m = I ' m = 2 5 c 2 = 0.025 f t 2                 I ' - 1 = 0

Substituindo na Eq (1)

( 32.2 ) ( 0.25 ) s i n ⁡ ( β - θ ) cos ⁡ β = ( 0.025 ) ( 6 ) ψ ˙ s i n ⁡ θ

8.05 ( s i n ⁡ β c o s ⁡ θ - c o s ⁡ β s i n ⁡ θ ) = 0.15 ψ ˙ s i n ⁡ θ c o s ⁡ β

t a n ⁡ θ = tan ⁡ β 1 + 0.018634 ψ ˙

(a) ψ ˙ = 0 t a n ⁡ θ = t a n ⁡ β θ = β θ = 40.0 ∘

(b) ψ ˙ = 50 r a d / s t a n ⁡ θ = tan ⁡ 40 ∘ 1 + ( 0.018634 ) ( 50 ) θ = 23.5 ∘

(c) ψ ˙ = - 50 r a d / s t a n ⁡ θ = tan ⁡ 40 ∘ 1 + ( 0.018634 ) ( - 50 ) θ = 85.3 ∘

Resposta

( a ) θ = 40.0 ∘

(b) θ = 23.5 ∘

(c) θ = 85.3 ∘

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