O cursor de 2   k g é liberado a partir do repouso em A e desliza para baixo a haste fixa inclinada no plano vertical. O coeficiente de atrito dinâmico é 0,4 . Calcule

(a) a velocidade v do cursor quando este colide com a mola e

(b) a deflexão máxima x da mola.

Passo 1

(a) Primeiramente, observe o seguinte diagrama de forças sobre o cursor, que faz um movimento de descida como se fosse num plano inclinado:

Na direção y perpendicular à superfície, a componente do peso e a normal se equilibram, de modo que:

N = P y = m g cos ⁡ θ

Na direção x paralela à superfície, a outra componente do peso e a força de atrito atuam, de modo que a força resultante F é:

F = P x - F a t

F = m g   s e n   θ - μ k N

F = m g   s e n   θ - μ k m g cos ⁡ θ

F = m g s e n   θ - μ k cos ⁡ θ

Passo 2

Sabendo da força resultante na direção do movimento, calculamos o trabalho total:

U = F   .   d   . cos ⁡ 0

U = m g s e n   θ - μ k cos ⁡ θ 0,5

U = ( 2 ) ( 9,81 ) s e n   60 ° - 0,4 cos ⁡ 60 ° ( 0,5 )

U = 6,53   J

Por outro lado, a variação de energia cinética será:

Δ T = m v 2 2 - m v 0 2 2

Δ T = ( 2 ) v 2 2 - ( 2 ) 0 2 2

Δ T = v 2

Como a variação da energia cinética de um corpo é igual ao trabalho total realizado sobre ele, temos:

Δ T = U

v 2 = 6,53

v = 2,56   m / s

Passo 3

(b) Quando o cursor colide com a mola, ele também passa a sofrer uma força contrária a seu movimento, a força elástica. Sendo assim, o trabalho realizado por todas as forças (incluindo o trabalho da força elástica) ao longo de toda a distância d + x será:

U = F d + x - k x 2 2

U = m g s e n   θ - μ k cos ⁡ θ d + x - k x 2 2

U = 2 9,81 s e n   60 ° - 0,4 cos ⁡ 60 ° 0,5 + x - 1,6 10 3   x 2 2

U = 6,534 + 13,07 x - 800 x 2

Como o cursor parte do repouso e volta ao repouso quando comprime a mola ao máximo, a sua variação de energia cinética é nula, então:

U = Δ T = 0

6,534 + 13,07 x - 800 x 2 = 0

Desprezando a solução negativa da equação do segundo grau acima, obtemos:

x = 0,0989   m

x = 98,9   m m

Resposta

(a) v = 2,56   m / s

(b) x = 98,9   m m

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