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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 35

Um foguete é lançado verticalmente da superfície da Lua com uma velocidade v 0 . Deduza uma fórmula para a razão h n / h u das alturas alcançadas a uma velocidade v se a lei da gravitação de Newton for usada para calcular h n e se um campo gravitacional uniforme for usado para calcular h u . Expresse sua resposta em termos da aceleração da gravidade g m sobre a superfície da Lua, do raio R m da Lua e das velocidades v e v 0 .

Passo 1

Vamos a mais uma questão! Precisamos determinar a relação da altura que um foguete atinge após ser lançado com uma velocidade v 0 e até atingir uma velocidade v . Só que a questão nos pede para determinarmos as alturas de formas diferentes.

Antes de determinarmos alguma das alturas, vamos escrever aqui a lei da gravitação de Newton, a qual será fundamental para escrevermos a altura h n e é dada por:

F = G M L u a m r 2

Quando r = R m , teremos a força igual ao peso W m = m g m . Portanto,

G M L u a m R m 2 = m g m

G = g m R m 2 M L u a

E com isto, temos a seguinte força:

F = g m m R m 2 r 2

Passo 2

Agora o procedimento será repetitivo. Vamos ter que utilizar o princípio do trabalho e energia para determinar a altura h em cada caso. Este princípio nos diz que:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

Como no momento inicial o foguete possui velocidade v 0 e no momento final possui velocidade v , os termos de energia cinética serão:

T 1 = m v 1 2 2 = m v 0 2 2

T 2 = m v 2 2 2 = m v 2 2

Até aqui é idêntico para o caso de ambas as alturas h n e h u . A diferença está exatamente no que vem a seguir: o trabalho da força! Portanto, vamos analisar cada ponto separadamente.

Passo 3

Vamos começar determinando a altura h n . Para isto, vamos calcular o trabalho da força escrita no Passo 1. Portanto,

U 1 → 2 = ∫ x 1 x 2 - F d x = ∫ R m R m + h n - g m m R m 2 r 2 d x

U 1 → 2 = - g m m R m 2 - 1 r R m R m + h n = g m m R m 2 1 R m + h n - 1 R m

U 1 → 2 = g m m R m R m + h n - R m

Percebam o cuidado nos limites de integração! O foguete sai da superfície da lua, em x 1 = R m até x 2 = R m + h n . Continuando, devemos substituir esta relação do trabalho na equação do trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

m v 0 2 2 + g m m R m R m + h n - R m = m v 2 2

R m R m + h n = R m - v 0 2 - v 2 2 2 g m

h n = v 0 2 - v 2 2 2 g m R m R m - v 0 2 - v 2 2 2 g m

E assim finalizamos a primeira parte da questão!

Passo 4

Agora temos que calcular a altura relacionada a um campo gravitacional uniforme. Neste caso, a força peso é exatamente m g m . Portanto, o trabalho desta força é:

U 1 → 2 = ∫ x 1 x 2 - F d x = ∫ R m R m + h u - m g m d x

U 1 → 2 = - m g m h u

E agora, basta substituirmos na relação de trabalho e energia. Logo,

T 1 + U 1 → 2 = T 2

m v 0 2 2 - m g m h u = m v 2 2

h u = v 0 2 - v 2 2 2 g m

Passo 5

Por fim, basta nós calcularmos a razão entre as duas alturas. Desta forma, temos:

h n h u = v 0 2 - v 2 2 2 g m R m R m - v 0 2 - v 2 2 2 g m v 0 2 - v 2 2 2 g m = R m R m - v 0 2 - v 2 2 2 g m = 1 1 - v 0 2 - v 2 2 2 g m R m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

h n h u = R m R m - v 0 2 - v 2 2 2 g m = 1 1 - v 0 2 - v 2 2 2 g m R m

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