Uma bola de golfe golpeada na terra alcança uma altura máxima de 60 m e atinge o chão uma distância de 200 m. A que distância a mesma bola de golfe se desloca na Lua se a intensidade e direção de sua velocidade forem as mesmas que ela teria na Terra imediatamente depois de bola foi atingida? Considere que a bola é atingida e aterrissa com a mesma elevação em ambos os casos e que o efeito da atmosfera na Terra é negligenciado, de modo que a trajetória em ambos os casos é uma parábola. A aceleração da gravidade na Lua é 0,165 vezes daquela da Terra.

Passo 1

Vamos a mais uma questão! Temos mais uma questão clássica de trajetória oblíqua.

O objetivo aqui é determinar a altura h m percorrido pela bola supondo a gravidade da Lua, a qual é 0,165 vezes a gravidade da Terra.

Só que aqui precisamos utilizar a metodologia de trabalho e energia, já que este é o objetivo desta questão. Não será nada difícil, apenas um pouco diferente do que estamos acostumados a trabalhar.

Passo 2

A sacada desta questão está na identificação do ponto 2 (ponto final) para utilizarmos o princípio do trabalho e energia. No início sabemos que, em ambas as trajetórias, a energia cinética é exatamente a mesma e é igual a:

T 1 = m v 2 2

Agora, até que ponto iremos analisar? Tem que ser algum ponto que nós conhecemos a relação de velocidade ou de altura!

E aqui está a sacada! Temos que analisar em relação ao ponto mais alto de cada trajetória. É necessário utilizar este ponto pois aqui conhecemos a velocidade do corpo. Em ambos a velocidade é v H , isto é, apenas a componente horizontal da velocidade v .

Portanto, a energia cinética será:

T 2 = m v H 2 2

E agora basta calcularmos o trabalho realizado pela força peso em cada trajetória. Para a Lua ela será:

U 1 → 2 L u a = ∫ 0 h m - W d x = ∫ 0 h m - m g L u a d x = - m g L u a h m

E para a trajetória na Terra ela será:

U 1 → 2 T e r r a = ∫ 0 h e - W d x = ∫ 0 h e - m g T e r r a d x = - m g T e r r a h e

Passo 3

Agora basta aplicarmos o princípio do trabalho e energia para cada um dos casos. Começando pela trajetória na Terra, temos:

T 1 + U 1 → 2 T e r r a = T 2

m v 2 2 - m g T e r r a h e = m v H 2 2 ⟹ h e = 1 g T e r r a v 2 - v H 2 2

Já para a trajetória da Lua, temos:

T 1 + U 1 → 2 L u a = T 2

m v 2 2 - m g L u a h m = m v H 2 2 ⟹ h m = 1 g L u a v 2 - v H 2 2

Agora, basta compararmos as duas relações. Com isto, temos:

h e g T e r r a = h m g L u a

Como g L u a = 0,165 g T e r r a e h e = 60   m , então, h m será:

h m = 60 0,165 = 363,6   m

E assim finalizamos a questão.

Resposta

h m = 363,6   m

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