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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.7 - Ex. 177

O cursor montado sobre molas oscila no eixo de acordo com x = 0,04 s e n π t , onde x é expresso em metros e t é expresso em segundos. Simultaneamente a estrutura gira em torno do mancal em O com uma velocidade angular ω = 2 s e n π t 2 r a d / s . Determine a aceleração do centro C do cursor (a) quando t = 3 s e (b) quando t = ½ s.

Passo 1

Bom pessoal, o esquema está representado de modo mais simples abaixo.

Agora, sabendo a expressão de movimento do cursor C, podemos achar sua velocidade e aceleração através de suas derivadas em função do tempo.

x = 0,04 s e n π t

x ˙ = v r e l = 0,04 π c o s π t   i ^   m / s

x ¨ = a r e l = - 0,04 π 2 s e n π t   i ^   m / s 2

Podemos também calcular a aceleração angular do mancal O através da derivada de ω .

ω = 2 s e n π t 2   k ^   r a d / s

α = π cos ⁡ π t 2   k ^ r a d / s 2

Passo 2

Beleza! Agora vamos para a resolução dos itens.

  1. A aceleração de C quando t = 3 s:

Neste instante, as variáveis valem o seguinte:

x = 0,04 s e n 3 π = 0       →   r C O = 0   i ^ + 0,2 j ^   m

x ˙ = v r e l = 0,04 π cos ⁡ 3 π = - 0,04 π   i ^   m / s

x ¨ = a r e l = - 0,04 π 2 s e n 3 π = 0   i ^   m / s 2

ω = 2 s e n 3 π 2 =   - 2 k ^   r a d / s

α = π cos ⁡ 3 π 2 = 0 k ^ r a d / s 2

Aplicando a equação da aceleração relativa nos pontos C e O:

a C = a O + α × r C O + ω × ω × r C O + 2 ω × v r e l + a r e l

Agora é só substituir valores:

a C = 0 + 0 - - 2 2 0,2 j ^ + 2 - 2 k ^ × - 0,04 π i ^ + 0

a C = - 0,297 j ^   m / s 2

Passo 3

  1. A aceleração de C quando t = ½ s:

Neste instante, as variáveis valem o seguinte:

x = 0,04 s e n π 2 = 0,04   m     →   r C O = 0,04   i ^ + 0,2 j ^   m

x ˙ = v r e l = 0,04 π cos ⁡ π 2 = 0

x ¨ = a r e l = - 0,04 π 2 s e n π 2 = - 0,04 π 2   i ^   m / s 2

ω = 2 s e n π 4 =   2 k ^   r a d / s

α = π cos ⁡ π 4 = π 2 k ^ r a d / s 2

Aplicando a equação da aceleração relativa nos pontos C e O:

a C = a O + α × r C O + ω × ω × r C O + 2 ω × v r e l + a r e l

Agora é só substituir valores:

a C = 0 + π 2 k ^ × ( 0,04   i ^ + 0,2 j ^ ) - 2 2 0,04   i ^ + 0,2 j ^ - 0,04 π 2   i ^

a C = 0,089 j ^ - 0,444 i ^ - 0,08 i ^ - 0,4 j ^ - 0,395 i ^

a C = - 0,919 i ^ - 0 , 311 j ^   m / s 2

Resposta

  1. a C = - 0,297 j ^ m s 2
  2. a C = - 0,919 i ^ - 0 , 311 j ^   m / s 2
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