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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 1

Em um dado instante, o corpo de massa m com uma velocidade angular ω e uma velocidade de seu centro de massa vg. Demonstrar que sua energia cinética total se dá por T = 1 2 . I i c . ω ² , onde Iic é o seu momento de inércia calculado em relação a seu eixo instantâneo de velocidade nula a uma distância rG/Ic de seu centro de massa.

Passo 1

Temos, por definição que:

T = 1 2 × m × v × g 2 + 1 2 × I g × ω 2

Porém, sabe-se que a velocidade se seu centro de massa, se dá pela multiplicação de sua velocidade angular pela distância de seu centro de massa ao seu eixo instantâneo de velocidade nula, dado por rG/Ic, logo teremos que:

v g = ω × r G / I c

Com isso, teremos uma nova equação, onde:

T = 1 2 × m × ( ω × r G / I c ) ² + 1 2 × I g × ω 2                   ( 1 )

Passo 2

Rearranjando a equação 1, temos:

T = 1 2 ( m × ( ω × r G / I c ) ² + I g × ω 2 )

Organizando mais ainda, temos:

T = 1 2 × ω ² ( m × ( r G / I c ) ² + I g )                 ( 2 )

Sabendo que o momento de inércia do corpo se dá como, por definição:

I i c =   m × ( r G / I c ) ² + I g                 ( 3 )

Então podemos substituir (3) em (2):

T = 1 2 × ω 2 × I i c

Resposta

A enercia cinética do corpo será dada por T = 1 2 × ω 2 × I i c , onde ω é sua velocidade angular e Iic é seu momento de inercia com relação ao seu eixo instantâneo de velocidade nula.

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