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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 140a

As deformações abaixo foram determinadas na superfície da base de uma máquina de ferro fundido. Sabendo-se que E = 70 G P a e G = 28 G P a , determinar os planos principais e as tensões principais: (a) pela determinação do correspondente estado plano de tensões. (Usar Eq. (2.36); Eq(2.43); e as duas primeiras equações do Prob. 2.76); e então, usar o círculo de Mohr para tensões; (b) Usando o círculo das deformações principais; e então, determinar as correspondentes tensões.

ε x = + 210 × 10 - 6   m m / m m

ε y = + 50 × 10 - 6   m m / m m

γ x y = - 300 × 10 - 6   m m / m m

Passo 1

Para resolver este problema nós primeiro temos de calcular o coeficiente de Poisson ν pela equação. Depois a gente vai aplicar a equação da tensão normal de modo a desenhar o ciclo de Mohr como pedido.

Por fim iremos fazer o ciclo de mohr para as deformações.

Passo 2

Para achar o coeficiente de Poisson a gente vai utilizar a equação:

G = E 2 ⋅ ( ν + 1 )

Dessa forma:

ν = E 2 G - 1

ν = 70 2 ⋅ 28 - 1

ν = 0,25

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação da tensão normal, utilizando as equações apontadas na questão:

σ 1 = E 1 - ν 2 ⋅ ( ε x + ν ⋅ ε y )

σ 1 = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( 210 × 10 - 6 + 0,25 ⋅ 50 × 10 - 6 )

σ 1 = 74,67 × 10 9 ⋅ 222,5 × 10 - 6

σ 1 = 16,61   M P a

Fazendo a mesma coisa para σ 2

σ 2 = E 1 - ν 2 ⋅ ( ε y + ν ⋅ ε x )

σ 2 = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( 50 × 10 - 6 + 0,25 ⋅ 210 × 10 - 6 )

σ 2 = 74,67 × 10 9 ⋅ 102,5 × 10 - 6

σ 2 = 7,65   M P a

Finalmente para a tensão de cisalhamento, que é dada por:

τ = G ⋅ γ

τ = 28 × 10 9 ⋅ - 300 × 10 - 6

τ = - 8,4   M P a

Passo 4

Agora vamos fazer o ciclo de Mohr para as tensões. Primeiro a gente tem que calcular a média das tensões normais:

σ m é d i o = σ 1 + σ 2 2

σ m é d i o = 16,61 + 7,65 2 = 12,13   M P a

Agora a gente tem que achar o raio do ciclo:

R = σ 1 - σ 2 2 2 + τ 2

R = 16,61 - 7,65 2 2 + - 8,4 2

R = 90,63

R = 9,52   M P a

Desenhando o ciclo:

Lembrando que A e B representam as tensões principais.

Passo 5

Dessa forma podemos determinar os planos principais por geometria:

t g 2 θ p = 2 τ σ 1 - σ 2

t g 2 θ p = 2 ⋅ - 8,4   16,61 - 7,65

t g 2 θ p = - 1,875

2 θ p = a r c t g - 1,875 = 62 °

θ p = 31 °

Esse é um dos planos principais, para achar o outro basta somar 90°.

θ 2 = 121 °

Passo 6

Para achar as tensões principais iremos fazer:

σ a = σ m é d i o + R

σ a = 12,13   + 9,52 = 21,65   M P a

σ b = σ m é d i o - R

σ b = 12,13 - 9,52 = 2,61   M P a

Além disso é válido apontar que a terceira tensão principal σ c = 0 porque é um estado plano de tensões.

Resposta

a)

θ p = 31 °

θ 2 = 121 °

σ a = 21,65   M P a

σ b = 2,61   M P a

σ c = 0

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