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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 43

As deformações principais em um ponto sobre a superfície de alumínio de um tanque são ϵ 1 = 630 ( 10 - 6 ) e ϵ 2 = 350 ( 10 - 6 ) . Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. E a l = 70   GPa , ν a l = 0,33 . Dica: Veja o Problema 10.34.

Passo 1

Oláaaaa, querido! Tá bem?

Então, ele dá a deformação normal de um tanque em duas direções. O módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material desse tanque. Vamos listar tudo aqui:

  • Deformação na direção 1 : ϵ 1 = 630 ⋅ 10 - 6 .
  • Deformação na direção 2 : ϵ 1 = 350 ⋅ 10 - 6 .
  • Módulo de elasticidade: E = 70   GPa .
  • Coeficiente de Poisson: ν = 0,33

Ele diz que essas deformações estão em um estado plano de tensões e são as deformações principais do elemento. Aí ele pede para descobrir as tensão principais associadas.

Ou seja, queremos descobrir as tensões principais σ 1 e σ 2 associadas as deformações que ele deu.

Bora ver como descobrir isso aí!

Passo 2

Então, queremos uma relação entre tensão e deformação em um elemento no estado plano de tensões, tendo o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material.

Bem, algo que pode ser bem útil para relacionar essas coisas é a Lei de Hooke generalizada. Ela é dada por essas 3 expressões:

ϵ 1 = 1 E σ 1 - ν σ 2 + σ 3

ϵ 2 = 1 E σ 2 - ν σ 1 + σ 3

ϵ 3 = 1 E σ 3 - ν σ 1 + σ 2

Mas isso vale para um estado tridimensional de tensões, onde temos deformação em 3 direções. Como aqui a gente está no estado plano, a gente pode zerar ϵ 3 e esquecer a última equação. Aí ficamos com

ϵ 1 = 1 E σ 1 - ν σ 2     i

ϵ 2 = 1 E σ 2 - ν σ 1   i i

Passo 3

Percebe que a gente tem todas as variáveis, menos σ 1 e σ 2 . Então isso é uma sisteminha de duas equações para gente resolver.

Podemos começar multiplicando por ν a primeira equação:

ϵ 1 = 1 E σ 1 - ν σ 2

ν ϵ 1 = ν E σ 1 - ν σ 2   i i i

E depois somar isso a equação i i :

ϵ 2 = 1 E σ 2 - ν σ 1   i i

ν ϵ 1 + ϵ 2 = - ν 2 σ 2 + σ 2 E       i i + i i i

E aí podemos jogar os nossos valores e achar σ 2 !

557,9 ⋅ 10 - 6 = - 0,1089 σ 2 + σ 2 70   GPa

0,8911 σ 2 = 39,053   MPa

σ 2 = 43,83   M p a

Passo 4

Agora a gente pode voltar em i e achar σ 1 :

ϵ 1 = 1 E σ 1 - ν σ 2

Substituindo os valores que a gente tem

630 ⋅ 10 - 6 = 1 70   GPa σ 1 - 0,33   43,83   M P a

630 ⋅ 10 - 6 = 1 70 10 9   Pa σ 1 - 0,33   43,83   10 6 P a

Isolando σ 1 :

σ 1 = 58,56 10 6   Pa

σ 1 = 58,56   MPa

Resposta

Tensões principais: σ 1 = 58,56   MPa e σ 2 = 43,83   MPa .

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