Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 31
Ao perfurar um poço a velocidade angular constante, a extremidade inferior do tubo de perfuração encontra uma resistência à torção . Além disso, o solo ao longo das laterais do tubo cria um torque de atrito distribuído ao longo do comprimento do tubo, que varia uniformemente de zero na superfície a em . Determine o torque mínimo que deve ser transmitido pela unidade de acionamento para se vencerem os torques de resistência e calcule a tensão de cisalhamento máxima no tubo. O tubo tem raio externo e raio interno .
Passo 1
Um tubo girando a velocidade constante perfura o solo. O tubo está completamente enterrado.
A extremidade inferior sofre uma resistência de torque . Além disso, o solo também resiste ao giro, causando um torque distribuído linearmente. Essa distribuição vale zero em (onde o solo começa) e na extremidade inferior do tubo .
Essa é uma daquelas questões sem números. Vamos anotar tudo que sabemos.
Características do tubo:
- Raio interno: .
- Raio externo: .
- Momento polar de inércia: .
- Comprimento do tubo:
Até aqui é pra considerarmos todas essas letras como conhecidas!
O forçamento que faz o tubo girar é . Nós queremos descobrir uma expressão para esse cara! A sacada é lembrar que a velocidade de giro está constante, então o tubo está em equilíbrio.
Depois, a questão pede para acharmos a tensão de cisalhamento máxima no tubo.
Passo 2
Temos três torques atuando no tubo. O torque de forçamento , o torque de resistência e um torque de resistência causado por toda distribuição linear de torque. Para termos equilíbrio, precisamos que:
O a gente conhece.
O a gente pode achar. Sabemos que o torque distribuído vale zero em e termina como a uma distância de . A variação é linear! Imagine um triângulo de base e altura . A contribuição total é a área desse triângulo:
Show, já fechamos a primeira parte da questão:
Passo 3
A questão quer a tensão máxima. Fórmula da torção:
O é constante. Para termos tensão máxima , usamos e aí precisamos do maior torque interno que acontece no tubo.
Bem, pensa o seguinte: na pontinha em do tubo, ele é forçado com e não tem nenhum outro torque ajudando a resistir! Então a seção em tem que resistir o sozinho. Esse vai ser o maior torque interno.
Reescrevendo só um pouquinho:
Resposta
Torque mínimo de acionamento:
Tensão máxima de cisalhamento: