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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 73

Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t .

Passo 1

Observe a distribuição de forças geradas sobre a viga. Elas vão gerar um momento sobre a viga e isso gera uma “torção na viga”

O centro de cisalhamento é o ponto O onde uma força P aplicada, gera um momento equivalente ao das forças internas, anulando a torção.

Pra calcular isso, vamos integrar o fluxo de cisalhamento sobre a viga para determinar as forças internas em função de P . Depois vamos fazer um cálculo de momento equivalente, para determinar a distância e .

Como já conhecemos a força que atua no ponto O (que é o próprio P ), então vamos fazer este cálculo de momentos em relação ao ponto O ' . Dessa forma não vamos precisar calcular a força F 3 .

Passo 2

Começamos calculando o momento de inércia

I = t h 3 12 + 2 ⋅ b t 3 12 + b t ⋅ h 2 2 + t h + 2 h 1 3 12 - t h 3 12

Observe que t é a espessura de uma parede fina. Isso quer dizer que t é muito menor que as outras dimensões. Em outras palavras:

t 2 → 0

t 3 → 0

Com isso podemos simplificar a expressão:

I = 2 ⋅ b t ⋅ h 2 2 + t h + 2 h 1 3 12

I = b t ⋅ h 2 2 + t h + 2 h 1 3 12

Chegamos numa expressão para o momento de inércia.

I = t 6 b h 2 + h + 2 h 1 3 12

Passo 3

MOMENTO ESTÁTICO NA ABA k 1

Vamos calcular uma expressão pro momento estático na aba k 1

O momento estático é:

Q 1 = x 1 ⋅ t ⋅ h 2 + h 1 - x 1 2

Chegamos numa expressão pro momento estático.

Q 1 = t h 2 x 1 + h 1 x 1 - x 1 2 2

Observe que para esse momento estático 0 < x 1 < k 1 , pois a aba tem tamanho h 1

MOMENTO ESTÁTICO NA ABA b

Vamos calcular uma expressão pro momento estático na aba b

O momento estático será a soma do momento estático da área amarela mais o momento estático variável da área verde:

Q 2 = h 1 t ⋅ h 1 + h 2 + x 2 ⋅ t h 2

Q 2 = ⋅ h 1 2 t + h 1 t h 2 + x 2 ⋅ t h 2

Q 2 = t 2 ( h 1 2 + h 1 h + x 2 ⋅ h )

Chegamos numa expressão pro momento estático.

Q 2 = t 2 [ h 1 ( h 1 + h ) + x 2 ⋅ h ]

Observe que para esse momento estático 0 < x 2 < b , pois a aba tem tamanho b

Passo 4

CALCULANDO FORÇA 1:

Para encontrar a força sobre a aba basta integrar o fluxo de cisalhamento:

F 1 = ∫ 0 h 1 q 1 ⋅ d x  

F 1 = ∫ 0 h 1 V Q 1 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P

F 1 = ∫ 0 h 1 P Q 1 I ⋅ d x  

F 1 = P I ∫ 0 h 1 Q 1 ⋅ d x  

Substituindo o momento estático

F 1 = P I ∫ 0 h 1 t h 2 x 1 + h 1 x 1 - x 1 2 2 ⋅ d x  

Efetuando a integral:

F 1 = P t I ⋅ h x 1 2 4 + h 1 x 1 2 2 - x 1 3 6 0 h 1    

F 1 = P t I ⋅ h h 1 2 4 + h 1 3 2 - h 1 3 6    

F 1 = P t I ⋅ h h 1 2 4 + h 1 3 3    

Chegamos numa expressão para a Força 1:

F 1 = P t 12 I ⋅ 3 h h 1 2 + 4 h 1 3    

CALCULANDO FORÇA 2:

F 2 = ∫ 0 b q 2 ⋅ d x  

F 2 = ∫ 0 b V Q 2 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P

F 2 = ∫ 0 b P Q 2 I ⋅ d x  

F 2 = P I ∫ 0 b Q 2 ⋅ d x

Substituindo o momento estático

F 2 = P I ∫ 0 b t 2 [ h 1 ( h 1 + h ) + x 2 ⋅ h ] ⋅ d x

Efetuando a integral:

F 2 = P t 2 I h 1 h 1 + h x 2 + x 2 2 2 ⋅ h 0 b

Chegamos numa expressão para a Força 2:

F 2 = P t 4 I 2 b h 1 h 1 + h + b 2 h

Passo 5

Agora vamos calcular o somatório de momentos em O '

∑ M O ' = 0 ⇒ + 2 F 1 ⋅ b - F 2 h + P ⋅ e = 0

P e = - 2 F 1 b + F 2 h

Substituindo F 1 e F 2 :

P e = - 2 P t 12 I ⋅ 3 h h 1 2 + 4 h 1 3 ⋅ b + P t 4 I 2 b h 1 h 1 + h + b 2 h ⋅ h

P e = P t 12 I - 2 3 h h 1 2 + 4 h 1 3 ⋅ b + 3 2 b h 1 h 1 + h + b 2 h ⋅ h

e = t 12 I - 6 h h 1 2 b - 8 h 1 3 b + 6 b h 1 h h 1 + h + 3 b 2 h 2

e = t b 12 I - 8 h 1 3 + 6 h 1 h 2 + 3 b h 2

Substituindo o momento de inércia:

e = t b 12 t 6 b h 2 + h + 2 h 1 3 12 - 8 h 1 3 + 6 h 1 h 2 + 3 b h 2

Simplificando:

e = b ( - 8 h 1 3 + 6 h 1 h 2 + 3 b h 2 ) 6 b h 2 + h + 2 h 1 3

Resposta

e = b ( 6 h 1 h 2 + 3 b h 2 - 8 h 1 3 ) h + 2 h 1 3 + 6 b h 2

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Para a viga extrudada, com a seção transversal mostrada, determinar a localização do centro de cisalhamento O.
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