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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 21

Demonstre diretamente que a taxa de tempo de mudança da quantidade de movimento angular em torno da origem para um projétil disparado da origem ( g constante) é igual ao momento de força (ou torque) em torno da origem.

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nessa questão temos um disparo sendo feito e temos que mostrar que a taxa de momento angular é igual ao torque. Pra entender melhor, temos a imagem

Para ver essa prova, temos que encontrar a posição e o momento linear para achar o momento angular e para o torque precisamos da força e da posição. Vamos aos cálculos.

Passo 2

Primeiro, algumas definições.

Vamos considerar que o movimento acontece no plano x 2 - x 3 . Assim temos

x 2 = v 0 t c o s α

x 3 = v 0 t s e n α - g t 2 2

A posição pode ser descrita como

r = x 2 e 2 + x 3 e 3

r = v 0 t c o s α e 2 + v 0 t s e n α - g t 2 2 e 3

Agora calculamos o momento da partícula, que é calculada por

p = m r ˙ = m [ v 0 c o s α e 2 + v 0 s e n α - g t e 3 ]

Com a posição e momento, podemos calcular o momento angular por

L = r × p = v 0 t c o s α e 2 + v 0 t s e n α - g t 2 2 e 3 × m [ v 0 c o s α e 2 + v 0 s e n α - g t e 3 ]

Fazendo as contas e lembrando que o produto vetorial dos vetores unitários segue a regra normal do produto vetorial, temos então

L = - 1 2 m g v 0 t 2 c o s α e 1

Fazendo a derivada em relação ao tempo, temos

L ˙ = - m g v 0 t c o s α e 1

Passo 3

Agora para calcular o torque, precisamos da força, que é

F = - m g e 3

O torque pode ser calculado por

N = r × F = v 0 t c o s α e 2 + v 0 t s e n α - g t 2 2 e 3 × - m g e 3

N = - m g v 0 t c o s α e 1

Mais um problema feito. Bora pra mais um?

Resposta

N = L ˙

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