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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 105

Como descreve uma órbita elíptica em torno do sol, uma espaçonave atinge uma distância máxima de 202 x 106 milhas do centro do sol no Ponto A (chamado afélio) e uma distância mínima de 92 × 10 6 m i lhas no Ponto B (chamado de periélio ). Para colocar a espaçonave em uma órbita elíptica menor com afélio em A' e periélio em B', onde A’ e B’ estão localizados 164.5 × 10 6 m i l h a s e 85.5 × 10 6   m i l h a s , respectivamente, do centro do sol, a velocidade da espaçonave é primeiro reduzido quando passa por A e, em seguida, é reduzida ainda mais conforme passa por B'. Sabendo que a massa do sol é 332.8 × 10 3 vezes a massa da terra, determine (a) a velocidade da espaçonave em A, (b ) os valores pelos quais a velocidade da espaçonave deve ser reduzida em A e B 'para inseri-la na esfera elíptica desejada

Passo 1

Primeira nota

R e a r h = 3960 m i = 20.9088 × 10 6 f t   r A = 202 × 10 6 m i = 1066.56 × 10 9 f t   r B = 92 × 10 6 m i = 485.76 × 10 9 f t  

Da solução do problema 12- 102, nós temos que para qualquer órbita elíptica em torno do Sol:

1 r 1 + 1 r 2 = 2 G M s u n h 2

Passo 2

(a) Para a órbita elíptica AB, temos:

r 1 = r A , r 2 = r B , h = h A = r A v A

Além disso G M s u n   = G 332.8 × 10 3 M e a r t h     = g R e a r t h   2 332.8 × 10 3           Usando Eq 12.30

Então: 1 r A + 1 r B = 2 g R c a r t h 2 332.8 × 10 3 r A v A 2

Ou: v A = R e a t h   r A 665.6 g × 10 3 1 r A + 1 r A 1 / 2

= 3960 m i 202 × 10 6 m i 665.6 × 10 3 × 32.2 f t / s 2 106.56 × 10 9 t + 1 485.76 × 10 9 f 1 / 2   = 52,431 f t / s  

Ou: v A = 52.4 × 10 3 f t / s

Passo 3

(b) Da parte (a), nós temos:

2 G M s u n   = r A v A 2 1 r A + 1 r B

Então, para qualquer outra órbita elíptica ao redor do Sol:

1 r 1 + 1 r 2 = r A v A 2 1 r A + 1 r B h 2

Para órbita de transferência elíptica AB’, nós temos:

r 1 = r A ,     r 2 = r B ' ,     h = h i r = r A v A t r

Então: 1 r A + 1 r B * = r A v A 2 1 r A + 1 r s r A v A t r 2

Ou: v A t r = v A - 1 r A + 1 r B 1 r A + 1 r B 1 / 2 = v A 1 + r A r b 1 + r A r g 1 / 2

= ( 52,431 f t / s ) 1 + 202 92 1 + 202 85.5 1 / 2

= 51,113 f t / s

Agora: h t r = h A t r = h B ' t r :   r A v A t r = r B ' v B ' t r

v B ' t r = 202 × 10 6 m i 85.5 × 10 6 m i × 51,113 f t / s = 120,758 f t / s

Passo 4

Para a órbita elíptica A’B’, nós temos

r 1 = r A ' , r 2 = r B ' , h = r B ' v B '

Então 1 r A ' + 1 r B ' = r A v A 2 1 r A + 1 r B r B ' v B ' 2

Ou v B ' = v A r A r B ' 1 r A + 1 r B 1 r A + 1 r B 1 / 2

= ( 52,431 f t / s ) 202 × 10 6 m i 85.5 × 10 6 m i 1 202 × 10 6 + 1 92 × 10 6 1 164.5 × 10 6 + 1 85.5 × 10 6 1 / 2

= 116,862 f t / s

Passo 5

Então v A t r = v A + Δ v A

Ou Δ v A = ( 51,113 - 52,431 ) f t / s

Ou Δ v A = 1318 f t / s

E v K ' = v B ' i r + Δ v B

  O u     Δ v B ' = ( 116,862 - 120,758 ) f t / s

= - 3896 f t / s

Ou: Δ v B = 3900 f t / s

Resposta

(a) v A = 52.4 × 10 3 f t / s

(b) Δ v A = 1318 f t / s

Δ v B = 3900 f t / s

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