Enunciado

O deslocamento vertical do cilindro A em metros é dado por y = t 2 / 4 onde t é expresso em segundos. Calcule a aceleração descendente de a B do cilindro B . Identifique o número de graus de liberdade.

Passo 1

Esse é um daqueles problemas onde é importante ter uma mentalidade geométrica! Por isso vamos dar nome a algumas posições e comprimentos:

Atenção, os comprimentos L 1 , L 2 e L 3 se referem aquele trecho do cabo inteiro, incluindo a parte que passa para o outro lado da(s) polia(s). O L 3 por exemplo começa lá no teto e termina na polia D .

Bem complicado né? Vamos organizar as informações que nós já temos. O enunciado deu a algtura do bloco A função do tempo, vamos derivar para achar também a velocidade e a aceleração:

y = t 2 4         ⇒         y ˙ = t 2         ⇒           y = 1 2

O próximo passo, assim como nos outros problemas que nós resolvemos por esse método “geométrico”, é escrever algumas expressões para os comprimentos e posições.

A vantagem de fazer isso é que os comprimentos L 1 , L 2 e L 3 são constantes! Então eles somem quando nós derivamos em relação ao tempo.

Passo 2

Então vamos lá, os comprimentos são:

L 1 = y c + ( y c - y B )

Existe mais um pedaço do comprimento L 1 , que é a parte enrolada na polia. Mas como ela vai ser a mesma em todos os casos a gente pode ignorar sem problemas.

L 2 = y D + ( y D - y C )

L 3 = 2 y E - y A + ( y E - y D )

Ótimo, agora é só derivar (duas vezes, porque estamos procurando uma aceleração):

L 1 = y c + y c - y B       ⇒           0 = y ¨ C + y ¨ C - y ¨ B

L 2 = y D + y D - y C         ⇒         0 = y ¨ D + y ¨ D - y ¨ C

L 3 = 2 y E - y A + y E - y D         ⇒           0 = 2 y ¨ E - 2 y ¨ A + y ¨ E - y ¨ D

Passo 3

Ótimo, então ficamos com um sistema de três equações:

0 = 2 y ¨ C - y ¨ B 0 = 2 y ¨ D - y ¨ C 0 = 3 y ¨ E - 2 y ¨ A - y ¨ D

Mas veja bem: a polia E está presa no teto! Isso quer dizer que ela não se move, e então y ¨ E = 0 .

0 = 2 y ¨ C - y ¨ B 0 = 2 y ¨ D - y ¨ C 0 = 2 y ¨ A + y ¨ D

Vamos isolar y ¨ C na primeira equação y ¨ C = y ¨ B / 2 e substituir isso na segunda, aí vamos ficar com duas equações:

0 = 2 y ¨ D - y B ¨ 2 0 = 2 y ¨ A + y ¨ D

E agora vamos isolar y ¨ D na segunda equação y ¨ D = y ¨ B / 4 e substitir isso na primeira:

0 = 2 y ¨ A + y ¨ B 4

Beleza, e nós já temos a aceleração do bloco A , então y ¨ A = 1 / 2 :

0 = 2 1 2 + y ¨ B 4

y ¨ B = - 4   m / s 2

Passo 4

E a questão ainda tem uma pegadinha final! Ela pediu a aceleração descendente do cilindro B , ou seja, ele quer que a gente considere uma aceleração para baixo como negativa. Nesse caso, precisamos inverter o sinal:

a B = - y ¨ B = 4   m / s 2

Beleza, resolvido. Agora só falta responder a outra pergunta: quantos graus de liberdade tem esse sistema?

Bom, pelas equações que nós temos, se você tem o tempo t você consegue determinar tudo, certo? Então ótimo, temos apenas um grau de liiberdade.

Resposta

A aceleração descendente do bloco B é 4   m / s 2 , e o sistema tem 1 grau de liberdade.

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