Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 15
Determinar: (a) a carga crítica para a coluna de alumínio; (b) dimensão d para que a coluna de aço tenha a mesma carga crítica; (c) expressar o peso da coluna de alumínio como uma porcentagem do peso da coluna de aço.
Passo 1
Fala meu povo, tudo certo? Vamos devagarzinho resolvendo passo a passo, nossa primeira meta é encontrar o peso crítico para a coluna de alumínio e aqui a gente vai usar essa formulinha:
Na figura do enunciado fica claro que a coluna é bi-rotulada então não há alterações no comprimento efetivo da mesma.
Passo 2
A coluna de alumínio é quadrada, ou seja, não possui eixo fraco e seu momento de inércia é:
Assim nosso P crítico será, substituindo os valores na fórmula apresentada no passo 1. E detalhe que aqui vale trabalhar com tudo em milímetros e também com gigapascal que é newton/mm², pois assim a gente só precisa converter o comprimento da coluna.
E com:
Temos:
Para o alumínio (a):
Passo 3
O item b, pede a dimensão d da seção quadrada da coluna de aço de forma que eles tenham o mesmo peso crítico, ou seja:
A gente vai substituir esse valor na fórmula do peso crítico para o aço e vamos encontrar o momento de inércia I e com ele encontramos o diâmetro.
Isolando I, temos:
Com:
Substituímos os valores:
Como a gente tem, para seções quadradas:
Substituindo a gente encontra para o aço:
E enfim pro item (b), o a dimensão d. do aço é:
Passo 4
O item c, nos pede a porcentagem do peso de alumínio em relação ao peso da coluna de aço. Para calcular os pesos a gente faz o seguinte:
Se a gente dividir o peso de alumínio pelo peso do aço, teremos:
Sendo o volume do alumínio:
E o volume do aço:
Substituindo o volume na relação dos pesos, temos:
E com cada peso específico:
Substituindo na equação temos: