Enunciado

Determinar: (a) a carga crítica para a coluna de alumínio; (b) dimensão d para que a coluna de aço tenha a mesma carga crítica; (c) expressar o peso da coluna de alumínio como uma porcentagem do peso da coluna de aço.

Passo 1

Fala meu povo, tudo certo? Vamos devagarzinho resolvendo passo a passo, nossa primeira meta é encontrar o peso crítico para a coluna de alumínio e aqui a gente vai usar essa formulinha:

P C R T = π 2 E I L e 2

Na figura do enunciado fica claro que a coluna é bi-rotulada então não há alterações no comprimento efetivo da mesma.

Passo 2

A coluna de alumínio é quadrada, ou seja, não possui eixo fraco e seu momento de inércia é:

I x = I y = d 4 12 = 25 4 12 = 32,55 × 10 3 m m 4

Assim nosso P crítico será, substituindo os valores na fórmula apresentada no passo 1. E detalhe que aqui vale trabalhar com tudo em milímetros e também com gigapascal que é newton/mm², pois assim a gente só precisa converter o comprimento da coluna.

E com:

E = 70 G P a

Temos:

P C R T = π 2 × 70 × 32,55 × 10 3 180 0 2 = 6,94 k N  

Para o alumínio (a):

P C R = 6,94 k N

Passo 3

O item b, pede a dimensão d da seção quadrada da coluna de aço de forma que eles tenham o mesmo peso crítico, ou seja:

P C R a ç o = P C R A l u m í n i o = 6,94 k N

A gente vai substituir esse valor na fórmula do peso crítico para o aço e vamos encontrar o momento de inércia I e com ele encontramos o diâmetro.

P C R = π 2 E I L e 2

Isolando I, temos:

I = P C R L e 2 π 2 E

Com:

E a ç o = 200 G P a

Substituímos os valores:

I = 6,94 × 1800 2 π 2 × 200 = 11,391 × 10 3 m m 4

Como a gente tem, para seções quadradas:

I = d 4 12

d = 12 I 4

Substituindo a gente encontra para o aço:

d a ç o = 12 × 11,391 × 10 3 4

E enfim pro item (b), o a dimensão d. do aço é:

d a ç o = 19,23 m m

Passo 4

O item c, nos pede a porcentagem do peso de alumínio em relação ao peso da coluna de aço. Para calcular os pesos a gente faz o seguinte:

P = γ × V o l u m e

Se a gente dividir o peso de alumínio pelo peso do aço, teremos:

P a l u m P a ç o = γ a l γ a ç o × V a l V a ç o

Sendo o volume do alumínio:

V a l = d a l 2 L

E o volume do aço:

V a ç o = d a ç o 2 L

Substituindo o volume na relação dos pesos, temos:

P a l u m P a ç o = γ a l γ a ç o × d a l 2 d a ç o 2  

E com cada peso específico:

γ a l = 28 k N / m 3

γ a ç o = 80 k N / m 3

Substituindo na equação temos:

P a l u m P a ç o = 28 80 × 25 2 19,23 2 × 100 % = 52,25 %

Resposta

  1. P C R = 6,94 k N
  2. d a ç o = 19,23 m m
  3. 52,25 %
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