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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 110

Determinar a localização do centro de cisalhamento O de uma viga de parede fina de espessura uniforme e com a seção transversal mostrada.

Passo 1

Para esse tipo de questão sabemos que a nossa tensão de cisalhamento produz na seção forças que são decorrentes do diagrama de tensões. Mas ai temos o seguinte macete, imagine que na verdade a nossa seção tenha o seguinte fluxo de tensões.

Se calcularmos o momento fletor em torno de “d” teremos que:

M d = 2 ( F 1 100 + F 2 75 )

Agora pensa o seguinte, se temos esse momento fletor agindo em torno de “d” vamos tentar equilibrar ele, e para equilibrar, precisamos descobrir qual a distância “e” que podemos colocar a nossa carga vertical para garantir que a nossa seção vá descer vertical, e não rotacionar, sendo assim, teremos que:

Calculando o momento fletor em “d” teremos que:

M d = V e

E igualando os momentos fletores, teremos que:

V e = 2 ( F 1 100 + F 2 75 )

e = 2 ( F 1 100 + F 2 75 ) V

Sabemos que a força que age na seção superior e gera a força F é dada pela seguinte equação:

F = ∫ τ d A

Sabemos que:

τ = V Q I b

Precisamos determinar o momento de inércia total da nossa seção, vamos seguir o seguinte passo a passo.

Passo 2

Vamos determinar primeiro o momento de inércia, para isso precisamos determinar algumas coisas, para isso temos que fazer o seguinte passo a passo.

para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

I = ∑ I i + A i d i 2

I = 2 I 1 + A 1 d 1 2 + 2 I 2 + A 2 d 2 2 + ( I 3 )

I = 2 3   .     50 3 12 + 3   .   50   .   50 2 + 2 100   .     3 3 12 + 100   .     3   .     75 2 + 3   .     150 3 12 = 5031700   m m 4

Passo 3

Para o momento estático, precisamos escrever a nossa equação em função disso, porque sabemos que a nossa força está em função da tensão, sendo assim podemos fazer o seguinte:

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

    • Q = A 1 y 1 = 3 y 25 + y 2 = 75 y + 3 y 2 2

  • Tensão

    • τ = V Q I b = V   .   ( 75 y + 3 y 2 2 )     I     .     3

    Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:

    F 1 = ∫ τ d A

    Sabemos que:

    A = 3 y

    Logo:

    d A = 3 d y

    Sendo assim teremos que:

    F 1 = ∫ V   .   ( 75 y + 3 y 2 2 )     I     .   3 ( 3 d y )

    F 1 = ∫ V   .   ( 2 5 y + y 2 2 )     I ( 3 d y )

    F 1 = 3 V I ∫ 25 y + y 2 2 ( d y )

    F 1 = 3 V I 25 y 2 2 + y 3 6

    Como sabemos que y varia de 25 até 75, podemos ignorar o zero e analisar apenas o 40, sendo assim teremos que:

    F 1 = 3 V I 25   .     75 2 2 + 75 3 6 - 25   .     25 2 2 + 25 3 6 = 390625 V I  

    Como temos o valor de I, podemos substituir:

    F 1 = 390625 V 5031700 = 0,077632   V

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento (agora para a força 2)

    • Porém temos que lembrar que aqui vamos usar o mesmo conceito que usamos antes, porém temos que considerar o que já determinamos em 1, assim vamos ter que:

    Q 1 = 75 y + 3 y 2 2 = 75   .     50 + 3   .   50 2 2 = 7500   m m 3

    Q = Q 1 + A 2 y 2 = 7500 + 3 x   .   75

  • Tensão

τ = V Q I b = V   .   ( 7500 + 3 x   .   75 )     I     .     3

Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:

F 2 = ∫ τ d A

Sabemos que:

A = 3 x

Logo:

d A = 3 d x

Sendo assim teremos que:

F 2 = ∫ V   .   ( 7500 + 3 x   .   75 )     I     .   3 ( 3 d x )

F 2 = 3 V I ∫ ( 2500 + 75 x )     ( d x )

F 2 = 3 V I 2500 x + 75 x 2 2

Como sabemos que x varia de 0 até 100, podemos ignorar o zero e analisar apenas o 40, sendo assim teremos que:

F 2 = 3 V I 2500   .     100 + 75   .     100 2 2 - 2500   .     0 + 75   .     0 2 2 = 1875000 V I  

Como temos o valor de I, podemos substituir:

F 2 = 1875000 V 5031700 = 0,372637   V

Mas lembra o nosso objetivo? Queremos determinar a excentricidade que podemos aplicar a nossa carga, sendo assim, teremos que:

e = 2 ( 0,077632   V × 100 + 0,372637   V × 75 ) V = 71,4   m m

Resposta

e = 71,4   m m

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