Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 45b
Uma viga extrudada tem seção transversal como mostrado e uma espessura de parede constante e igual a . Para uma força cortante vertical de , determinar:
- A máxima tensão de cisalhamento na viga. Esboçar também o diagrama do fluxo de cisalhamento na seção transversal.
Passo 1
Nosso objetivo é determinar a tensão cisalhante máxima e o fluxo, para isso temos que calcular a tensão no meio de cada uma das seções:
Em que:
Para esse ponto, já sabemos algumas coisas que vão ser importantes para a gente, que são:
Agora precisamos determinar o momento estático e o momento de inércia, para isso temos um passo a passo, uma que vamos determinar a LN e um que vamos determinar o momento de inércia e estático, assim, vamos ver isso nos passos seguintes.
Passo 2
Para determinarmos a LN, precisamos determinar a Área e a distância do centroide de cada um dos trechos até a base da nossa peça, assim, podemos dividir a nossa seção em seções mais simples, e assim teremos que:
Assim temos que as áreas 1 e 3 podem ser determinadas diretas, desse modo teremos que:
E a área 2? Essa basta fazermos um Pitágoras para achar o comprimento dela na diagonal e multiplicarmos pela espessura, assim temos que:
Basta agora determinarmos a distancia do centroide de cada seção até a base da estrutura, onde teremos que:
Como a espessura é muito pequena, desprezamos ela no cálculo, por esse motivo que é iguala zero.
Tendo isso tudo podemos calcular a nossa LN pela equação:
Passo 3
Para determinarmos o momento de inércia, precisamos determinar a distância do centroide de cada elemento até a LN, o momento de inércia de cada seção, e a área podemos ficar tranquilos porque já temos, então, vamos determinar primeiro a distancia dos centroides até a a LN.
Para os momentos de inércia, o 2 vai ser o que vamos ter que ter uma atenção maior, mas o 1 e 3 podemos ver o seguinte, sabemos que seu calculo vai ser dado por:
Como as espessuras são muito pequenas, podemos considerar elas aproximadamente zero, assim definimos que:
Para vamos fazer algo diferente do que fizemos na área, lá nos mudamos a altura para o comprimento L e mantivemos a espessura, agora, para facilitar o cálculo, eu vou manter a altura, e modificar a espessura, assim teremos que:
E sabemos que podemos fazer a seguinte relação:
Assim o momento de inércia em 2 pode ser visto como:
Assim a nossa equação para o momento de inércia vai ser dada por:
Substituindo, teremos que:
Agora só precisamos do nosso momento estático.
Passo 4
Para o momento estático precisamos determinar a área acima do ponto que queremos calcular a tensão cisalhante, e a distância dessa área até a nossa LN, mas, no caos de espessuras muito finas, usamos a própria área da espessura e a distancia dela até a nossa LN, ou seja, como o ponto A está em cima, basta usarmos os seguintes dados:
- Tensão no ponto A
- Tensão Máxima
- Tensão inferior
E assim temos o seguinte fluxo de tensões até agora.
Como queremos também a tensão cisalhante máxima, basta pegarmos o momento estático acima da LN.
Passo 5
Assim temos que:
Perceba que já sabemos que a nossa espessura pode ser usada como horizontal e nossa altura como vertical, assim, podemos aproximar a nossa área 2 acima da LN como sendo:
Assim, podemos definir o nosso momento estático como sendo:
Assim podemos calcular a máxima tensão de cisalhamento que ocorre na nossa estrutura:
Assim o nosso fluxo de cisalhamento passa a ser:
Passo 6
Agora só precisamos determinar as tensões na parte inferior, e o principio é muito parecido com o que fizemos na parte de cima, basta termos a área e a distancia dela até a nossa LN, mas na parte de baixo, assim vamos ter que:
E assim podemos fechar o nosso fluxo da seguinte maneira:
Resposta
