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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 17

Determinar o raio da estrutura redonda para que as colunas redonda e quadrada, tenham a mesma área da seção transversal também calcular a carga crítica para cada uma das colunas usar E=200GPa

Passo 1

Bom povo, o enunciado pede as dimensões da coluna redonda e a carga crítica de ambas. O fato delas terem a mesma área torna isso muito mais fácil, igualaremos as áreas e vamos isolar o diâmetro da coluna redonda.

Após isso encontraremos o peso crítico para cada coluna usando:

P C R T = π 2 E I L e 2

E aqui precisaremos do momento de inércia de cada coluna, e ao longo do exercício calcularemos, então bora?

Passo 2

Vamos determinar logo a geometria da coluna redonda, encontrando seu diâmetro.

A R = A Q

Substituindo as áreas temos:

π d 2 4 = a 2

Daqui podemos isolar d:

d = 4 a 2 π  

Substituindo a aresta da coluna temos:

d = 4 × 25 2 4 π = 28,2 m m

Passo 3

Dimensões determinadas vamos ao peso crítico e começaremos pela coluna quadrada:

P c r = π 2 E I L e 2

E calculamos o momento de inércia da seção quadrada, para qualquer eixo já que não possui eixo fraco.

I x = I y = a 4 12 = 25 4 12 = 32,55 × 10 3 m m 4

E enfim substituímos todo mundo na fórmula do peso crítico nas unidades KN e mm, temos:

P c r ( Q ) = π 2 × 200 × 32,55 × 10 3 1000 2 = 64,25 k N

E para a coluna redonda o processo é o mesmo, lembrando só que:

I x = I y = π d 4 64 = π × 28,2 4 64 = 31,04 × 10 3 m m 4

E enfim substituindo na fórmula do peso crítico temos:

P C R ( R ) = π 2 × 200 × 31,04 × 10 3 1000 2 = 61,27 k N

Resposta

P c r ( Q ) = 64,25 k N

P C R ( R ) = 61,27 k N

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