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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 18

Determinar:(a) a carga crítica para a coluna quadrada;(b) o raio da coluna redonda, para que ambas possuam a mesma carga crítica; (c) expressar a área da seção transversal da coluna quadrada como uma porcentagem da área da seção transversal da coluna redonda. Usar E=200GPa

Passo 1

Fala meu povo, vamos por partes ok? Primeiro o enunciado pede a carga crítica da coluna quadrada que calcularemos usando:

P C R = π 2 E I L e 2

Aqui o que falta é o momento de inércia que iremos calcular. Após isso a questão quer o raio da coluna redonda, para que tenham a mesma carga crítica. Então usaremos a mesma fórmula e repare que o comprimento da coluna e o material é o mesmo então basicamente eles vão ter o mesmo momento de inércia e daí isolaremos o raio.

Passo 2

Calculando o momento de inércia da seção quadrada e detalhe que não há eixo fraco nesse tipo de seção:

I = I x = I y = a 4 12

I = 25 4 12 = 32,55 × 10 3 m m 4

Vamos agora calcular o peso crítico usando:

P C R = π 2 E I L e 2

Substituindo os valores que nós temos a gente resolve o item a.

P C R = π 2 × 200 × 32,55 × 10 3 1000 2 = 64,25 k N

Passo 3

Legal, agora pro nosso item B vamos analisar a fórmula do peso crítico:

P C R = π 2 E I L e 2

Repare que as colunas possuem mesmo módulo de elasticidade e mesmo comprimento efetivo, se igualarmos os pesos críticos veremos que:

P C R ( Q ) = P C R R

π 2 E I Q L e 2 = π 2 E I R L e 2

Cortando geral que é igual a gente chega que:

I Q = I R

O momento de inércia da seção quadrada a gente tem, já o da redonda é dado por:

I R = π r 4 4

Então se isolarmos o raio na equação acima temos:

r = 4 I R / π 4

Substituindo o valor de I R .

r = 4 × 32,55 × 10 3 / π 4

Resolvemos o item b.

r = 14 , 26 m m

Passo 4

O item c, nos pede uma relação das áreas em porcentagem:

R = A Q A R × 100

Sendo a área redonda:

A R = π r 2 = π × 14,26 2 = 638,83 m m 2

E a área quadrada:

A Q = 25 2 = 625 m m 2

Então a relação fica:

R = 625 638,83 × 100 = 97,83 %

Resposta

( a ) P C R = 64,25 k N

( b ) r = 14,26 m m

c R = 97,83 %

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