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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 69

Determine a altura h da abertura retangular na placa quadrada, que resultará em um centro de massa, para o restante da placa, o mais próximo possível da borda superior.

Passo 1

Questão bem bacana, que vai nos lembrar do que a gente vê lá no cálculo 1... mas calma gente, né nenhuma integral impossível de resolver não! É sobre o assunto de derivadas. Primeiro vamos ao mais básico, as áreas e os centros de massa de cada área! Devemos sempre lembrar que as formulas do centro de massa estão a seguir:

X - =   ∑ x - A   ∑ A    

  Y - =   ∑ y - A   ∑ A    

Z - =   ∑ z - A   ∑ A    

Passo 2

Agora, vamos dividir nosso problema em volumes, e a partir dai jogar na nossa formula, substituindo área por volume! A seguir uma vista de perfil da figura pra vocês terem uma ideia melhor do que ta rolando!

Entenderam a jogada da questão? Ela quer que a gente ache o nosso   Y - mas de forma máxima, ou seja... vamos achar o nosso centro de massa em função de a e em seguida derivar!

Passo 3

Vamos calcular o nosso centro de massa na área 1 (considerando o quadrado todo):

A t o t a l 1 = a 2

y - 1 = a 2

Vamos calcular o nosso centro de massa na área 2 (considerando a parte menor):

A t o t a l 2 = - a h 2

y - 2 = h 2

Passo 4

Agora vamos montar nossa função e deriva-la, pra matar a questão de vez!

Y - =   ∑ y - A   ∑ A = a 2 a 2 - a h 2 h 2 a - h 2 2 = 1 2   a 2 - h 2 2 a - h 2

d Y - d h = 1 2     a - h 2 - h - a 2 - h 2 2 - 1 2 a - h 2 2 = 1 2 h 2 4 - a h + a 2 2 a - h 2 2 = 0  

Logo,

1 4 h 2 - 4 a h + 2 a 2 = 0 ,   h = a ( 2 ± 2 )

Mas olhem só pequenos gafanhotos... qual escolher? Simples! Vamos rejeitar o sinal de mais, pois h tem que ser menor que a! Logo:

h = a 2 - 2 = 0.586 a

Resposta

h = 0.586 a

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