Determine a altura h do cone em termos do raio r do hemisfério , de modo que o conjunto esteja em equilíbrio indiferente. Tanto o cone como o hemisfério são feitos do mesmo material.

Passo 1

Desenhando o diagrama do corpo livre do cone+hemisfério:

Passo 2

Em primeiro lugar vamos calcular a massa do cone e a massa do hemisfério em termos da massa específica:

m c = ρ 1 3 ⋅ π ⋅ r 2 h m s = ρ ⋅ ( 2 3 π ⋅ r 3 )  

Passo 3

Da figura, temos:

y c = r + h 4 c o s θ y s = r - 3 8 r c o s θ

Passo 4

Vamos calcular a função para a energia potencial do conjunto:

V = V c + V s = m g y c + m g y s V =   = ρ 1 3 ⋅ π ⋅ r 2 h ⋅ g ⋅ y c +   ρ ⋅ 2 3 π ⋅ r 3 ⋅ g ⋅ y c V = 1 3 ρ π r 2 g ( r h + h 2 4 c o s θ + 2 r 2 - 3 4 r 2 c o s θ

Passo 5

Para calcular a posição de equilíbrio, devemos calcular a primeira derivada da função potencial:

d V d θ = 1 3 ρ π r 2 g - h 2 4 s e n θ + 3 4 r 2 s e n θ d V d θ = 0 ⇒ 1 3 ρ π r 2 g s e n θ - h 2 4 + 3 4 r 2 = 0  

Passo 6

Analisando a estabilidade, precisamos calcular a segunda derivada da expressão do potencial:

d 2 V d θ 2 θ = 0 = 1 3 ρ π r 2 g - h 2 4 c o s θ + 3 4 r 2 c o s θ = 0 ⇒ - h 2 4 c o s θ + 3 4 r 2 c o s θ ⇒   h = 3 r

ρ , π , r , g ≠ 0

Resposta

Logo, o valor de h que proporciona estabilidade indiferente é h = 3 r  

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