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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 78

Desprezando o peso dos blocos, determine 3 posições de equilíbrio para W = 1350 N ,   l = 400 m m   e k = 13,5 k N / m m

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de estática. Sabemos que para encontrar a posição de equilíbrio, devemos encontrar a expressão da energia potencial e igualar sua derivada a 0. Logo, sabemos que:

V W = W × l s e n θ 2

V m o l a   = 1 2 k x 2

Sabemos que a deformação da mola é dada por:

x = l s e n θ

Portanto:

V = W × l s e n θ 2 + 1 2 k l ² s e n ² ( θ )

Substituindo valores, teremos:

V = 270000 s e n θ + 1080000 s e n ² ( θ )

Vamos agora derivar a expressão:

V ' = 270000 cos ⁡ θ + 2160000 s e n θ c o s ⁡ ( θ )

Portanto, a expressão que satisfaz o equilíbrio será:

270000 cos ⁡ θ + 2160000 s e n θ cos ⁡ θ = 0

270000 cos ⁡ θ = - 2160000 s e n θ cos ⁡ θ

270000 = - 2160000 s e n θ

s e n θ = - 0,125

θ = - 7,180   ;   θ = - 172,82 ;   θ = 0

O valor de θ = 0   também nos dá uma posição de quilíbrio, pois a mola estaria indeformada.

Passo 2

Para determinar a estabilidade, precisamos da segunda derivada da expressão:

V ' ' = - 270000 s e n θ + 2160000 ( c o s 2 θ - s e n ² θ )

Logo, basta substituir os valores encontrados no passo 1 e determinar a estabilidade da seguinte maneira:

E s t á v e l → V ' ' > 0

I n s t á v e l → V ' ' < 0

N e u t r o → V ' ' = 0

Portanto:

θ = - 7,180   e   θ = - 172,82 → V ' ' = 2126260,6 → E s t á v e l

θ = 0 → 2160000 → E s t á v e l

Resposta

θ = - 7,180   ;   θ = - 172,82 ;   θ = 0

Todas as posições de equilíbrio são estáveis.

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A pequena balança postal consiste em um contrapeso W 1 , conectado aos elementos que possuem peso desprezível. Determine o peso W 2 que está na bandeja em termos dos ângulos θ e ϕ e das dimensões most
A haste uniforme A D tem 20k g de massa. Se a mola conectada não está deformada quando θ = 90 ° , determine o ângulo θ para haver equilíbrio. Observe que a mola sempre permanece na posição vertical, e
Cada elemento tem uma massa por comprimento m 0 . Determine os ângulos θ e ϕ nos quais eles estão suspensos em equilíbrio. O contato em A é liso, e ambos são conectados por um pino em B .
Determine o ângulo θ para haver equilíbrio e investigue a estabilidade nessa posição. As hastes possuem massa de 3k g cada uma e o bloco suspenso D tem massa de 7k g . A corda D C tem comprimento tota
A haste uniforme tem massa de 100k g . Se a mola não estiver deformada quando θ = 60 ° , determine o ângulo θ para haver equilíbrio e investigue a estabilidade na posição de equilíbrio. A mola sempre