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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 109

Determine o ângulo θ entre os lados da chapa triangular.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Prontos pra mais um exercício?

O exercício nos pede para determinar o ângulo θ entre os lados da chapa triangular.

A partir da definição do produto escalar, temos que o ângulo formado entre as origens de dois vetores que se interceptam vale:

θ = cos - 1 ⁡ A ⋅ B A B

Onde A e B indicam os vetores e A e B suas intensidades.

Aplicando ao nosso problema podemos dizer que:

θ = cos - 1 ⁡ r A B ⋅ r A C r A B r A C

Para não nos perdermos, vamos escrever as coordenadas de cada ponto:

A = 0 , 1 , 1   m

B = 0 , 3,4   m

C = 3 ,   5 , 0   m

Passo 2

Analisando a figura do enunciado, temos que:

r A B = B - A

r A B = 0 - 0 i + 3 - 1 j + 4 - 1 k

r A B = 2 j + 3 k

Sua magnitude vale:

r A B = 0 2 + 2 2 + 3 2

r A B = 3,61     m

Fazendo o mesmo procedimento para o lado A C , temos que:

r A C = C - A

r A C = 3 - 0 i + 5 - 1 j + 0 - 1 k

r A C = 3 i + 4 j - 1 k

Sua magnitude vale:

r A C = 3 2 + 4 2 + - 1 2

r A B = 5,099     m

Passo 3

Agora que descobrimos todos os dados que precisamos, é só substituir na equação:

θ = cos - 1 ⁡ r A B ⋅ r A C r A B r A C

θ = cos - 1 ⁡ ( 2 j + 3 k ) ⋅ 3 i + 4 j - 1 k 3,61 5,099

Resolvendo, temos que:

θ = cos - 1 ⁡ 0 3 + 2 4 + ( 3 ) ( - 1 ) 3,61 5,099

θ = cos - 1 ⁡ 0,27163

θ = 74,24 °

Este é o valor do ângulo solicitado. Consegui te ajudar? Responde Aí.

Resposta

θ = 74,24 °

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