Enunciado

Determine os ângulos θ e ϕ formados entre o eixo O A do mastro da bandeira e os cabos A B e A C respectivamente.

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é identificar o vetor de posição dos elementos. Temos que:

r A O = - 4 j - 3 k

r A B = 1,5 i - 4 j + 3 k

r A C = - 2 i - 4 j + k

Para determinar o ângulo θ entre A B e A O . Podemos utilizar a equação:

cos ⁡ θ = u A B ⋅ u A O

Como:

u A B = r A B r A B

Temos que:

cos ⁡ θ = 1,5 i - 4 j + 3 k 1,5 2 + - 4 2 + 3 2 ⋅ - 4 j - 3 k 0 2 + - 4 2 + - 3 2

cos ⁡ θ = 16 - 9 26,1

cos ⁡ θ = 0,2682

Resolvendo, temos que:

θ = arccos ⁡ 0 , 2682

θ = 74,4 °

Passo 2

Analisando agora o ângulo ϕ entre A C e A O , temos que:

cos ⁡ ϕ = u A C ⋅ u A O

cos ⁡ ϕ = - 2 i - 4 j + k - 2 2 + - 4 2 + 1 2 ⋅ - 4 j - 3 k 0 2 + - 4 2 + - 3 2

cos ⁡ ϕ = 16 - 3 2 2,913

cos ⁡ ϕ = 0 , 567

Resolvendo, temos que:

ϕ = arccos ⁡ 0 , 567

ϕ = 55,4 °

Resposta

θ = 74,4 °

ϕ = 55,4 °

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